$X$ riflessivo $\Rightarrow B_X$ debolmente compatta
Salve a tutti, non riesco a capire come dedurre, usando il teorema di Banach-Alaoglu, che se $X$ è uno spazio riflessivo, allora la sua palla unitaria $B_X=\{ x\in X: ||x|| \le 1\} $ è debolmente compatta.
Innanzitutto, se $X$ è riflessivo allora dovrebbe essere uno spazio di Banach, in quanto l'immersione canonica $J: X\to X^{\star \star}$ definita da $x\mapsto \delta_x$ diventa un isomorfismo isometrico, e quindi un omeomorfismo lineare bilipschitziano, pertanto $X$ eredita automaticamente la completezza da quella del suo biduale.
A questo punto la mia idea sarebbe quella di dimostrare che la funzione continua $J^{-1}$ rispetto alle topologie delle norme sui due spazi è continua anche rispetto alla topologia debole su $X$ e alla topologia debole$^\star$ sul biduale. A tal punto credo che avrei finito, perché allora l'immagine tramite l'isometria biiettiva $J^{-1}$ della palla unitaria del biduale (che è compatta nella topologia debole $^\star$ per Banach-Alaoglu) sarebbe proprio la palla $B_X$, che quindi sarebbe debolmente compatta. Essendo $J^{-1}$ lineare, so che dalla continuità rispetto alle topologie delle norme segue la continuità anche rispetto a $\sigma (X, X^{\star})$ su $X$ e a $\sigma (X^{\star \star}, X^{\star \star \star})$ sul biduale.
Quindi la mia intuizione sarebbe quella di dimostrare, usando in qualche modo la riflessività di $X$, che la topologia debole del biduale è esattamente la sua topologia debole$^\star$, il che dovrebbe seguire dal fatto che il duale $X^{\star}$ è riflessivo.
Quindi tutto sarebbe ricondotto a dimostrare l'implicazione:
\[X \text{riflessivo} \Rightarrow X^\star \text{riflessivo.}\]
Questa intuizione è corretta? Se sì, mi dareste gentilmente un aiuto su come procedere per dimostrare questo fatto?
Se no, mi indichereste la strada corretta?
Grazie a tutti coloro che vorranno darmi una mano, ciao.
Innanzitutto, se $X$ è riflessivo allora dovrebbe essere uno spazio di Banach, in quanto l'immersione canonica $J: X\to X^{\star \star}$ definita da $x\mapsto \delta_x$ diventa un isomorfismo isometrico, e quindi un omeomorfismo lineare bilipschitziano, pertanto $X$ eredita automaticamente la completezza da quella del suo biduale.
A questo punto la mia idea sarebbe quella di dimostrare che la funzione continua $J^{-1}$ rispetto alle topologie delle norme sui due spazi è continua anche rispetto alla topologia debole su $X$ e alla topologia debole$^\star$ sul biduale. A tal punto credo che avrei finito, perché allora l'immagine tramite l'isometria biiettiva $J^{-1}$ della palla unitaria del biduale (che è compatta nella topologia debole $^\star$ per Banach-Alaoglu) sarebbe proprio la palla $B_X$, che quindi sarebbe debolmente compatta. Essendo $J^{-1}$ lineare, so che dalla continuità rispetto alle topologie delle norme segue la continuità anche rispetto a $\sigma (X, X^{\star})$ su $X$ e a $\sigma (X^{\star \star}, X^{\star \star \star})$ sul biduale.
Quindi la mia intuizione sarebbe quella di dimostrare, usando in qualche modo la riflessività di $X$, che la topologia debole del biduale è esattamente la sua topologia debole$^\star$, il che dovrebbe seguire dal fatto che il duale $X^{\star}$ è riflessivo.
Quindi tutto sarebbe ricondotto a dimostrare l'implicazione:
\[X \text{riflessivo} \Rightarrow X^\star \text{riflessivo.}\]
Questa intuizione è corretta? Se sì, mi dareste gentilmente un aiuto su come procedere per dimostrare questo fatto?
Se no, mi indichereste la strada corretta?
Grazie a tutti coloro che vorranno darmi una mano, ciao.
Risposte
Ah, ovviamente correggetemi se ho scritto qualche fesseria. Grazie!
Wingardium leviosa.
"Lemniscata":
Quindi tutto sarebbe ricondotto a dimostrare l'implicazione:
\[X \text{riflessivo} \Rightarrow X^\star \text{riflessivo.}\]
Questa intuizione è corretta?
SI. Infatti è un se e solo se:
\begin{equation}
\begin{array}
\. X\ \text{è riflessivo}& \iff & X^\star\ \text{è riflessivo}.
\end{array}
\end{equation}
Se cerchi la dimostrazione spulcia un po' questi appunti sugli spazi riflessivi di Gilardi:
http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG/PSPDF/rifl.pdf
"Lemniscata":
Wingardium leviosa.
Grazie Dissonance per gli appunti, quando avrò tempo li guarderò.
Nel frattempo ho provato a fare una dimostrazione diretta della continuità di $J^{-1}$ usando la caratterizzazione della continuità di funzioni lineari tra spazi vettoriali la cui topologia è indotta da famiglie di seminorme.
\[J^{-1}: (X^{\star \star}, \sigma(X^{\star \star}, \{ \delta_f: f\in X^{\star}\} )) \to (X, \sigma(X, X^{\star}))\] è continua se e solo se per ogni $ f\in X^{\star}$ esiste $S_{f} \subseteq \{ \delta_{\phi}: \phi \in X^{\star} \}$ finito e una costante $L_{f} \ge 0$ tale che per ogni $x\in X$ si abbia
\[p_f(J^{-1}(\delta_x))\le L_f \bigvee_{s\in S_{f}} p_{s}(\delta_x)\]
dove $p_{f}(\cdot):=|f(\cdot)|$ sono le seminorme indotte dai funzionali delle due topologie deboli.
Ma se allora prendo, per ogni $f\in X^{\star}$, $S_{f}=\{\delta_{f} \}$ e $L_{f}=1$ ottengo la disuguaglianza valida per ogni $x\in X$
\begin{split}
&p_f(x)\le p_{\delta_{f}}(\delta_x) &\iff \\
&|f(x)|\le |\delta_{f}(\delta_x)| &\iff \\
&|f(x)|\le |\delta_{x}(f)| &\iff \\
&|f(x)|\le |f(x)|
\end{split}
e quindi ho finito. E' sensata?
OT:
@ maxsiviero: Un modo per far salire il topic decisamente più poetico di un Up, no?!
Nel frattempo ho provato a fare una dimostrazione diretta della continuità di $J^{-1}$ usando la caratterizzazione della continuità di funzioni lineari tra spazi vettoriali la cui topologia è indotta da famiglie di seminorme.
\[J^{-1}: (X^{\star \star}, \sigma(X^{\star \star}, \{ \delta_f: f\in X^{\star}\} )) \to (X, \sigma(X, X^{\star}))\] è continua se e solo se per ogni $ f\in X^{\star}$ esiste $S_{f} \subseteq \{ \delta_{\phi}: \phi \in X^{\star} \}$ finito e una costante $L_{f} \ge 0$ tale che per ogni $x\in X$ si abbia
\[p_f(J^{-1}(\delta_x))\le L_f \bigvee_{s\in S_{f}} p_{s}(\delta_x)\]
dove $p_{f}(\cdot):=|f(\cdot)|$ sono le seminorme indotte dai funzionali delle due topologie deboli.
Ma se allora prendo, per ogni $f\in X^{\star}$, $S_{f}=\{\delta_{f} \}$ e $L_{f}=1$ ottengo la disuguaglianza valida per ogni $x\in X$
\begin{split}
&p_f(x)\le p_{\delta_{f}}(\delta_x) &\iff \\
&|f(x)|\le |\delta_{f}(\delta_x)| &\iff \\
&|f(x)|\le |\delta_{x}(f)| &\iff \\
&|f(x)|\le |f(x)|
\end{split}
e quindi ho finito. E' sensata?
OT:
@ maxsiviero: Un modo per far salire il topic decisamente più poetico di un Up, no?!
Sicuramente l'idea è quella ma non capisco bene i simboli che usi. Mi pare però più facile dimostrare direttamente il risultato generale: se un operatore lineare \(L\colon X \to Y\) è norma-norma continuo (i.e. è continuo rispetto alle due norme) allora esso è anche debole-debole continuo. Infatti per ogni \(y^\star \in Y^\star\) la mappa \(x \mapsto \langle y^\star, Lx\rangle\) è una forma lineare continua e dunque è continua rispetto alla topologia debole di \(X\).
Nello specifico, \(J^{-1}\) è un operatore lineare norma-norma continuo di \(X^{\star\star}\) in \(X^{\star}\).
Nello specifico, \(J^{-1}\) è un operatore lineare norma-norma continuo di \(X^{\star\star}\) in \(X^{\star}\).
Scusa Dissonance ma non capisco: intanto, con quella mappa intendi la valutazione di $y^\star$ su $Lx$, ossia la composizione $y^\star \circ L$?
Proprio lei. \(L\) è un operatore continuo e quindi \(y^\star\circ L\) è una forma lineare continua su \(X\). Di conseguenza essa è continua nella topologia debole di \(X\).
Perdona l'inettitudine, ma questo cosa dimostra relativamente a $L$? Finora abbiamo informazioni solo su $y^\star \circ L$, per ogni $y^\star \in Y^\star$...
Come hai menzionato prima, ci sono varie caratterizzazioni della continuità di operatori lineari tra spazi localmente convessi. Tra le varie conseguenze di queste caratterizzazioni c'è anche il fatto che un operatore lineare \(L\colon Z \to (Y, \sigma(Y, Y^\star))\) è continuo se e solo se tutte le forme lineari \(y^\star\circ L\) sono continue su \(Z\).
Ok, forse sto dicendo una stupidaggine, e ti prego di correggermi se sbaglio, però ho il sospetto che quella caratterizzazione valga solo se su $Z$ ho la topologia debole. Quindi per adattarlo alla nostra questione dovremmo comunque prima dimostrare che la topologia debole e quella debole star coincidono sul biduale, il che non è poi così immediato, no?
No, vale qualunque sia la topologia di spazio localmente convesso tu abbia su \(Z\). Infatti, come dicevi, \(L\) è continuo se e solo se per ogni seminorma \(p_y\) su \(Y\) esistono seminorme \(p_{z_1} \ldots p_{z_k}\) e una costante \(C\) tali che
\[\tag{1}
p_y(Lz)\le C(p_{z_1}z + \ldots +p_{z_k}z).
\]
Su questo dovremmo essere d'accordo. Siccome \(Y\) è munito della topologia debole le sue seminorme sono tutte e sole del tipo \(p(y)=\lvert y^\star(y)\rvert\), quindi la condizione (1) si riscrive
\[
\lvert y^\star(Lz)\rvert \le C(p_{z_1}z+\ldots+p_{z_k}z),
\]
il che significa esattamente dire che \(y^\star\circ L\) è una forma lineare continua su \(Z\).
\[\tag{1}
p_y(Lz)\le C(p_{z_1}z + \ldots +p_{z_k}z).
\]
Su questo dovremmo essere d'accordo. Siccome \(Y\) è munito della topologia debole le sue seminorme sono tutte e sole del tipo \(p(y)=\lvert y^\star(y)\rvert\), quindi la condizione (1) si riscrive
\[
\lvert y^\star(Lz)\rvert \le C(p_{z_1}z+\ldots+p_{z_k}z),
\]
il che significa esattamente dire che \(y^\star\circ L\) è una forma lineare continua su \(Z\).
Ok, benissimo, ora mi torna tutto, grazie, quindi alla fine dei conti comunque ci siamo ricondotti entrambi a quella caratterizzazione della continuità di funzioni lineari tra spazi con seminorme, con l'unica differenza che per me la topologia ha una base data dalle palle nelle seminorme massimo delle seminorme prese su sottoinsiemi finiti, per te la topologia ha una base di palle nelle seminorme somma delle seminorme su sottoinsiemi finiti, ma a intuito dovrebbero essere del tutto equivalenti.
Grazie mille della chiaccherata Dissonance, alla prossima!
Grazie mille della chiaccherata Dissonance, alla prossima!
"Lemniscata":
una base data dalle palle nelle seminorme massimo delle seminorme prese su sottoinsiemi finiti, per te la topologia ha una base di palle nelle seminorme somma delle seminorme su sottoinsiemi finiti, ma a intuito dovrebbero essere del tutto equivalenti.
Si, sono dettagli. Prendere il massimo o prendere la somma è la stessa cosa perché
\[
\frac{1}{n}(a_1+\ldots+a_n)\le \max(a_1 \ldots a_n)\le a_1+\ldots+a_n.\]
Più in generale potresti prendere qualsiasi norma \(\lVert \cdot \rVert\) su \(\mathbb{R}^n\).
Ah caspita, giusto, perché per l'equivalenza topologica di tutte le norme su $\mathbb{R}^n$ devono essere soddisfatte delle disuguaglianze analoghe a quelle che hai scritto... pazzesco, a me non sarebbe mai venuta in mente una roba del genere, grazie mille dello spunto, ciao!
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