\(X^{*}\) è chiuso in \(\mathbb{R}^{X}\)

[anoig1]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo esercizio:

Sia \(X\) uno spazio normato (\(X\neq\{0\}\)) e \(X^{*}\) il suo duale algebrico:
i) dimostrare che \(X^{*}\) è chiuso in \(\mathbb{R}^{X}\) per la topologia prodotto;
ii) dimostrare che \(\mathbb{R}^{X}\) non è primo numerabile.


Il primo punto penso si dimostri sfruttando il fatto che nella topologia prodotto una successione di funzioni in \(\mathbb{R}^{X}\) converge se converge puntualmente, ma questa deduzione non mi porta molto in là.
Rispetto al secondo punto, invece, brancolo nel buio…

[anoig1]

Sono arrivato a una possibile soluzione per il primo punto in questo modo:
Sia \(f\in\overline{X^*}\), esiste quindi una successione \(\{f_n\}_n\in X^*\) che converge a \(f\).
Nella topologia prodotto la convergenza implica la convergenza puntuale, dunque \(\forall x\in X,\,f_n(x)\to f(x)\).
Il fatto che \(X^*\subseteq\overline{X^*}\) è ovvio.
Mi basta dimostrare l'implicazione opposta:
per convergenza puntuale
\[f_n(\alpha x+\beta y)\to f(\alpha x+\beta y)\]
Dato che \(f_n\in X^*\)
\[f_n(\alpha x+\beta y)=\alpha f_n(x)+\beta f_n(y)\to\alpha f(x)+\beta f(y)\]
Quindi poiché i due limiti devono essere uguali segue che \(\forall x,y\in X\)
\[f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\]
cioè
\[f\in X^*\]
dunque \(\overline{X^*}\subseteq X^*\) e quindi \(X^*\) è chiuso per la topologia prodotto.


Qualcuno potrebbe dirmi se il ragionamento è corretto oppure cosa sbaglio?
Grazie:)