Wronskiano e indipendenza lineare
Ciao ragazzi!
sto studiando equazioni differenziali per analisi del 2° anno. In particolare adesso sono sui sistemi lineari omogenei n x n di equazioni differenziali a coefficienti variabili. Supponiamo che io abbia n soluzioni del mio sistema . Sto cercando di capire perché queste sono linearmente indipendenti se e solo se hanno wronskiano non nullo , cioè l'idea della dimostrazione.
Da wiki non ho capito niente, qualcuno ha qualche pdf dalla rete da linkarmi oppure la voglia di spiegarmelo?
grazie mille ciao!
sto studiando equazioni differenziali per analisi del 2° anno. In particolare adesso sono sui sistemi lineari omogenei n x n di equazioni differenziali a coefficienti variabili. Supponiamo che io abbia n soluzioni del mio sistema . Sto cercando di capire perché queste sono linearmente indipendenti se e solo se hanno wronskiano non nullo , cioè l'idea della dimostrazione.
Da wiki non ho capito niente, qualcuno ha qualche pdf dalla rete da linkarmi oppure la voglia di spiegarmelo?
grazie mille ciao!
Risposte
E' una domanda da algebra più che altro... Un sistema di n equazioni ed n incognite ha n soluzioni linearmente indipendenti se e solo se il determinante della matrice associataa tale sistema non è nullo.
ma il fatto che i coefficienti della matrice siano funzioni non modifica niente? vale comunque tale risultato? in generale le soluzioni di un equazione differenziale non è detto siano costanti o lineari no?
Si certo, non importa che cosa siano. Raramente le soluzioni di equaz differenziali sono costanti, a dir la verità a me sono sempre venute funzioni, anche molto complesse!
Se ricordi, anche quando si calcola il determinante della Jacobiana o della Hessiana stessa, si aveva a che fare con determinanti che erano ancora funzioni di x... Dico questo tanto per farti capire che già in precedenza ( visto che anche tu stai studiando AnII ) abbiamo lavorato con determinanti di coefficienti non costanti
Se ricordi, anche quando si calcola il determinante della Jacobiana o della Hessiana stessa, si aveva a che fare con determinanti che erano ancora funzioni di x... Dico questo tanto per farti capire che già in precedenza ( visto che anche tu stai studiando AnII ) abbiamo lavorato con determinanti di coefficienti non costanti
Guarda ti ringrazio! il prof non è che abbia spiegato benissimo questa parte e quindi faccio davvero molta fatica a collocare gli oggetti dal punto di vista del "che cosa sono? che cosa sto facendo?" ! sì alla fine me l'hai chiarito era poi una sciocchezza quasi, solo che non la vedevo nel modo giusto! grazie mille!!! sai com'è esame alle porte 
A chi lo dici.. anche io sono un pò in panne! Manca poco più di una sett :\ Comunque davvero, ora non mi viene in mente il nome del teorema specifico, comunque c'è nella teoria di algebra, di sicuro.
In bocca al lupo
In bocca al lupo
No pater, la domanda di LLLorenzzz non è banale. Lui chiede: perché calcolando il determinante Wronskiano in un punto solo riesco ad avere informazioni sulla dipendenza o indipendenza lineare di un insieme di funzioni? Più esplicitamente, sia (*) [tex]y^{(n)}=a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y[/tex] una eq.diff. lineare omogenea a coefficienti [tex]a_k\in C(I)[/tex], dove [tex]I[/tex] è un intervallo. C'è allora un teorema di esistenza e unicità il quale garantisce che, per ogni dato iniziale [tex]y(t_0)=y_0, \ldots, y^{n-1}(t_0)=y_{n-1}[/tex] esiste una ed una sola soluzione della (*) che lo verifichi, teorema che chiameremo di esistenza e unicità globale e che rappresenta la chiave di volta di tutto il discorso.
Infatti sia [tex]y[/tex] soluzione di (*). Dal teorema di esistenza e unicità globale, se esiste un punto [tex]t\inI[/tex] tale che [tex]y(t)=0, \ldots y^{(n-1)}(t)=0[/tex], allora [tex]y=0[/tex] su tutto [tex]I[/tex].
Siano poi [tex]y_1 \ldots y_n[/tex] soluzioni di (*); definiamo
[tex]W(t)=\det \begin{bmatrix} y_1(t) & \ldots & y_n(t) \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ y_1^{(n-1)}(t) & \ldots & y_n^{(n-1)}(t) \end{bmatrix}[/tex].
Supponiamo che esista un [tex]t \in I[/tex] tale che [tex]W(t)=0[/tex]. Allora esiste una soluzione non banale dell'equazione lineare (equazione algebrica questa, non equazione differenziale)
[tex]\begin{bmatrix} y_1(t) & \ldots & y_n(t) \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ y_1^{(n-1)}(t) & \ldots & y_n^{(n-1)}(t) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}[/tex]
e quindi esistono [tex]\xi_1, \ldots, \xi_n[/tex] non tutti nulli tali che
[tex]\xi_1y_1(t)+\ldots+\xi_ny_n(t)=0 \ldots \xi_1y_1^{(n-1)}(t)+\ldots+\xi_ny_n^{(n-1)}(t)=0[/tex]
Osserviamo infine che la funzione [tex]\xi_1y_1+\ldots+\xi_ny_n[/tex] è soluzione dell'equazione differenziale (*). Quindi, per la conseguenza del teorema di esistenza e unicità globale che dicevo prima, deve essere
[tex]\xi_1y_1+\ldots+\xi_ny_n=0[/tex] in tutto [tex]I[/tex]; ovvero le funzioni [tex]y_1\ldots y_n[/tex] sono linearmente dipendenti.
Infatti sia [tex]y[/tex] soluzione di (*). Dal teorema di esistenza e unicità globale, se esiste un punto [tex]t\inI[/tex] tale che [tex]y(t)=0, \ldots y^{(n-1)}(t)=0[/tex], allora [tex]y=0[/tex] su tutto [tex]I[/tex].
Siano poi [tex]y_1 \ldots y_n[/tex] soluzioni di (*); definiamo
[tex]W(t)=\det \begin{bmatrix} y_1(t) & \ldots & y_n(t) \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ y_1^{(n-1)}(t) & \ldots & y_n^{(n-1)}(t) \end{bmatrix}[/tex].
Supponiamo che esista un [tex]t \in I[/tex] tale che [tex]W(t)=0[/tex]. Allora esiste una soluzione non banale dell'equazione lineare (equazione algebrica questa, non equazione differenziale)
[tex]\begin{bmatrix} y_1(t) & \ldots & y_n(t) \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ y_1^{(n-1)}(t) & \ldots & y_n^{(n-1)}(t) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}[/tex]
e quindi esistono [tex]\xi_1, \ldots, \xi_n[/tex] non tutti nulli tali che
[tex]\xi_1y_1(t)+\ldots+\xi_ny_n(t)=0 \ldots \xi_1y_1^{(n-1)}(t)+\ldots+\xi_ny_n^{(n-1)}(t)=0[/tex]
Osserviamo infine che la funzione [tex]\xi_1y_1+\ldots+\xi_ny_n[/tex] è soluzione dell'equazione differenziale (*). Quindi, per la conseguenza del teorema di esistenza e unicità globale che dicevo prima, deve essere
[tex]\xi_1y_1+\ldots+\xi_ny_n=0[/tex] in tutto [tex]I[/tex]; ovvero le funzioni [tex]y_1\ldots y_n[/tex] sono linearmente dipendenti.
Voglio aggiungere un esempio che mostri come non sia in generale possibile risalire da una matrice Wronskiana alla dipendenza o indipendenza lineare di un insieme di funzioni.
Consideriamo le due funzioni [tex]y_1(t)=t, y_2(t)=t^2, t\in\mathbb{R}[/tex]. Esse sono linearmente indipendenti. Ma consideriamo la matrice
[tex]M(t)=\begin{bmatrix} y_1(t) & y_2(t) \\ y'_1(t) & y'_2(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} t & t^2 \\ 1 & 2t \end{bmatrix}[/tex];
per [tex]t=0[/tex] questa diventa
[tex]M(0)=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
e in particolare [tex]\det M(0)=0[/tex]. Ma le due funzioni [tex]y_1, y_2[/tex] NON sono linearmente dipendenti.
Consideriamo le due funzioni [tex]y_1(t)=t, y_2(t)=t^2, t\in\mathbb{R}[/tex]. Esse sono linearmente indipendenti. Ma consideriamo la matrice
[tex]M(t)=\begin{bmatrix} y_1(t) & y_2(t) \\ y'_1(t) & y'_2(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} t & t^2 \\ 1 & 2t \end{bmatrix}[/tex];
per [tex]t=0[/tex] questa diventa
[tex]M(0)=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
e in particolare [tex]\det M(0)=0[/tex]. Ma le due funzioni [tex]y_1, y_2[/tex] NON sono linearmente dipendenti.
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