Wronskiano
Esercizio: determinare un insieme completo di soluzioni linearmente indipendeti dell'equazione differenziale
\(\displaystyle f''(x) + 4 f(x) =0 \)
e scriverne il Wronskiano.
Risoluzione
\(\displaystyle λ^2 +4V=0 λ ( λ + 4 ) \)
\(\displaystyle λ1 = 0, λ2= -4 \)
\(\displaystyle y = c1 + c2 e^(-4x) \)
Come devo continuare? So che il wronskiano è la matrice con le soluzioni dell'equazione omogena nella prima riga e le loro derivate (fino all'ordine n dell'equazione differenziale) nelle successive.
Grazie in anticipo!
\(\displaystyle f''(x) + 4 f(x) =0 \)
e scriverne il Wronskiano.
Risoluzione
\(\displaystyle λ^2 +4V=0 λ ( λ + 4 ) \)
\(\displaystyle λ1 = 0, λ2= -4 \)
\(\displaystyle y = c1 + c2 e^(-4x) \)
Come devo continuare? So che il wronskiano è la matrice con le soluzioni dell'equazione omogena nella prima riga e le loro derivate (fino all'ordine n dell'equazione differenziale) nelle successive.
Grazie in anticipo!
Risposte
Ok. Perché ti sei fermat*? Prendi due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione, le hai appena calcolate, e forma la matrice Wronskiana. Poi dovrai calcolarne il determinante (di solito per Wronskiano si intende il determinante della matrice Wronskiana).
La matrice è nella prima riga \(\displaystyle | 1 , e^(-4x) |\)
mentre nella seconda riga \(\displaystyle | 0 , -4e^(-4x) |\)
e il determinante è \(\displaystyle -4e^(-4x) \)
è giusto?
mentre nella seconda riga \(\displaystyle | 0 , -4e^(-4x) |\)
e il determinante è \(\displaystyle -4e^(-4x) \)
è giusto?
ok
grazie!
in realtà mi sono accorta che c'era un errore nel primo post che ho scritto. La risoluzione della differenziale era
\(\displaystyle λ^2 +4 =0 \)
quindi cambiano le soluzione, che vengono numeri complessi (non ripeto il procedimento che comunque è lo stesso)
\(\displaystyle λ^2 +4 =0 \)
quindi cambiano le soluzione, che vengono numeri complessi (non ripeto il procedimento che comunque è lo stesso)
Uuh, si è vero. ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Non avevo controllato i calcoli ma solo il procedimento. Infatti vedi c'è un errore di cui non m'ero accorto ma piuttosto grave: il Wronskiano deve essere costante, se viene fuori dipendente esplicitamente da \(x\) qualcosa non va.
Ti scrivo come risolverei io l'esercizio, così da fugare eventuali dubbi causati da me.
L'equazione differenziale è
\[f''+4f=0, \]
perciò il polinomio caratteristico è \(\lambda^2+4\), le cui radici sono \(\pm 2i\). Due soluzioni linearmente indipendenti sono quindi \(e^{\pm 2i x}\) e la relativa matrice Wronskiana è
\[\begin{bmatrix} e^{2ix} & e^{-2ix} \\ 2i e^{2ix} & -2i e^{-2ix}\end{bmatrix}, \]
il cui determinante è \(-4i\). Come previsto dalla teoria il Wronskiano non dipende da \(x\), il che ci rassicura sul fatto di non aver sbagliato i conti.
Non avevo controllato i calcoli ma solo il procedimento. Infatti vedi c'è un errore di cui non m'ero accorto ma piuttosto grave: il Wronskiano deve essere costante, se viene fuori dipendente esplicitamente da \(x\) qualcosa non va. Ti scrivo come risolverei io l'esercizio, così da fugare eventuali dubbi causati da me.
L'equazione differenziale è
\[f''+4f=0, \]
perciò il polinomio caratteristico è \(\lambda^2+4\), le cui radici sono \(\pm 2i\). Due soluzioni linearmente indipendenti sono quindi \(e^{\pm 2i x}\) e la relativa matrice Wronskiana è
\[\begin{bmatrix} e^{2ix} & e^{-2ix} \\ 2i e^{2ix} & -2i e^{-2ix}\end{bmatrix}, \]
il cui determinante è \(-4i\). Come previsto dalla teoria il Wronskiano non dipende da \(x\), il che ci rassicura sul fatto di non aver sbagliato i conti.
Perfetto mi veniva lo stesso risultato! Grazie anche per il chiarimento teorico!
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