Wronskiano
Ciao,
imbattendomi nel teorema del Wronskiano per la determinazione delle soluzioni omogenee linearmente indipendenti($y_1,...,y_k$ soluzioni dell' equazione differenziale omogenea), mi sono chiesta:
ma l'implicazione $W(x) != 0 to {y_1, y_2,.....,y_k}$ linearmente indipendenti ( $W$ è il determinante della matrice Wronskiana)
non è abbastanza banale? cioè per ipotesi tutti gli elementi sono linearmente indipendeti quindi a maggior ragione $y_1,y_2,...,y_k$
imbattendomi nel teorema del Wronskiano per la determinazione delle soluzioni omogenee linearmente indipendenti($y_1,...,y_k$ soluzioni dell' equazione differenziale omogenea), mi sono chiesta:
ma l'implicazione $W(x) != 0 to {y_1, y_2,.....,y_k}$ linearmente indipendenti ( $W$ è il determinante della matrice Wronskiana)
non è abbastanza banale? cioè per ipotesi tutti gli elementi sono linearmente indipendeti quindi a maggior ragione $y_1,y_2,...,y_k$
Risposte
E' vero che quell'implicazione è facile (proprio banale non direi), anche se non ti sei espressa benissimo: meglio dire che, siccome esiste un punto \(x_0\) tale che \(W(x_0)\ne 0\), allora i vettori di \(\mathbb{R}^n\)
\[\begin{bmatrix}y_1(x_0) \\ y_1'(x_0) \\ \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x_0) \end{bmatrix}, \ldots ,\begin{bmatrix}y_n(x_0) \\ y_n'(x_0) \\ \vdots \\ y_n^{(n-1)}(x_0) \end{bmatrix}\]
sono linearmente indipendenti, e quindi anche le funzioni \(y_1 \ldots y_n\) sono linearmente indipendenti. Infatti se per assurdo esse fossero linearmente dipendenti, allora esisterebbero costanti \(C_1 \ldots C_n\) non tutte nulle tali che
\[C_1y_1(x)+\ldots+C_ny_n(x)=0, \qquad \forall x\]
e in particolare, derivando questa relazione \(n-1\) volte e valutando in \(x_0\),
\[C_1\begin{bmatrix}y_1(x_0) \\ y_1'(x_0) \\ \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x_0) \end{bmatrix}+ \ldots+ C_n\begin{bmatrix}y_n(x_0) \\ y_n'(x_0) \\ \vdots \\ y_n^{(n-1)}(x_0) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix},\]
una contraddizione perché tali vettori sono già stati visti essere linearmente indipendenti.
\[\begin{bmatrix}y_1(x_0) \\ y_1'(x_0) \\ \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x_0) \end{bmatrix}, \ldots ,\begin{bmatrix}y_n(x_0) \\ y_n'(x_0) \\ \vdots \\ y_n^{(n-1)}(x_0) \end{bmatrix}\]
sono linearmente indipendenti, e quindi anche le funzioni \(y_1 \ldots y_n\) sono linearmente indipendenti. Infatti se per assurdo esse fossero linearmente dipendenti, allora esisterebbero costanti \(C_1 \ldots C_n\) non tutte nulle tali che
\[C_1y_1(x)+\ldots+C_ny_n(x)=0, \qquad \forall x\]
e in particolare, derivando questa relazione \(n-1\) volte e valutando in \(x_0\),
\[C_1\begin{bmatrix}y_1(x_0) \\ y_1'(x_0) \\ \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x_0) \end{bmatrix}+ \ldots+ C_n\begin{bmatrix}y_n(x_0) \\ y_n'(x_0) \\ \vdots \\ y_n^{(n-1)}(x_0) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix},\]
una contraddizione perché tali vettori sono già stati visti essere linearmente indipendenti.
per implicazione contraria invece?
Che cosa vuoi sapere? Se è facile? Veditela sul libro, è spiegata bene (secondo me) sul Marcellini-Sbordone-Fusco. Poi di quello che non capisci ne riparliamo.
Comunque la cosa NON ovvia qui è questa: se \(y_1 \ldots y_n\) sono soluzioni di una equazione differenziale lineare di ordine \(n\), allora è sufficiente considerare il Wronskiano in un punto solo. Infatti se esiste \(x_0\) tale che \(W(x_0)=0\), allora \(y_1 \ldots y_n\) sono linearmente dipendenti, se esiste \(x_0\) tale che \(W(x_0)\ne 0\) allora \(y_1 \ldots y_n\) sono linearmente indipendenti. Questa è la cosa importante su cui si basa tutta la teoria.
Comunque la cosa NON ovvia qui è questa: se \(y_1 \ldots y_n\) sono soluzioni di una equazione differenziale lineare di ordine \(n\), allora è sufficiente considerare il Wronskiano in un punto solo. Infatti se esiste \(x_0\) tale che \(W(x_0)=0\), allora \(y_1 \ldots y_n\) sono linearmente dipendenti, se esiste \(x_0\) tale che \(W(x_0)\ne 0\) allora \(y_1 \ldots y_n\) sono linearmente indipendenti. Questa è la cosa importante su cui si basa tutta la teoria.
quindi le funzioni$y_i$ sono linearmente indipendenti quindi anche i vettori $ y_i(x0) $ quindi $c1=...=ck=0$ .
Se consideriamo $M(x0) ( c1,.,ck)= (0,.,0) $ poichè $c1=...=ck=0$ tutti i vettori $ y_i (x0), y_i'(x0),..$ sono linearmente indipendenti e quindi$W(x0) != 0$ .. cos' va bene?
Se consideriamo $M(x0) ( c1,.,ck)= (0,.,0) $ poichè $c1=...=ck=0$ tutti i vettori $ y_i (x0), y_i'(x0),..$ sono linearmente indipendenti e quindi$W(x0) != 0$ .. cos' va bene?
No, aspetta, raccogli le idee perché stai facendo un pastrocchio. Dove stanno questi "vettori \(y_1(x_0)\)"? \(y_i(x_0)\) è un numero, non un vettore. E poi, cosa stai cercando di dimostrare? Questo non si capisce dal tuo post.
Guarda, la cosa ideale è vedersi bene questa cosa da un libro: il Marcellini-Sbordone-Fusco va benone, ma puoi anche sceglierne un altro visto che sono argomenti classici. Sugli appunti qua è facile fare casino, con tutte quelle matrici.
Guarda, la cosa ideale è vedersi bene questa cosa da un libro: il Marcellini-Sbordone-Fusco va benone, ma puoi anche sceglierne un altro visto che sono argomenti classici. Sugli appunti qua è facile fare casino, con tutte quelle matrici.
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