Wronskiano???
Qualcuno può spiegarmi chiaramente cos'è la matrice wronskiana (parlando di equazioni differenziali) e la sua utilità? Grazie... 
Risposte
nessuno?? 
Considera l'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n :
$ a_0(x)y^(n)(x) +a_1(x)y^(n-1)(x)+...+a_(n-1)(x)y'(x)+a_n(x)y(x) = 0$, dove con $ y^n(x) $ si intende la derivata di ordine n di y(x) .
Se $y_1,y_2,...,y_n$ sono n soluzioni dell'equazione differenziale omogenea indicata sopra e il determinante (detto wronskiano) :
det $[(y_1(x),y_2(x)...y_n(x)),(y'_1(x),y'_2(x)...y'_n(x)),(y_1^(n)(x),y_2^(n)(x)...y_n^(n)(x))] $
è diverso da zero , allora tutte le soluzioni dell'equazione iniziale sono esprimibili come combinazione lineare di $ y_1,y_2,...y_n $ , cioè nella forma :
$y(x) = c_1y_1(x) +c_2 y_2(x)+.. c_ny_n(x) $ con $ c_1,c_2,..c_n$ costanti opportune
[Per essere rigorosi andrebbero fatte delle ipotesi di continuità sulle funzioni $ a_i(x) $ in un intervallo $ [alpha, beta] $ e bisogna che il determinante wronskiano sia diverso da zero in almeno un punto $x_0$ dell'intervallo $[alpha, beta] $ ].
In conclusione quanto sopra detto significa che l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale omogenea di grado n è un sottospazio vettoriale di dimensione finita n , nello spazio vettoriale , di dimensione infinita , delle funzioni appartenenti a $C^n[ alpha, beta ] $.
$ a_0(x)y^(n)(x) +a_1(x)y^(n-1)(x)+...+a_(n-1)(x)y'(x)+a_n(x)y(x) = 0$, dove con $ y^n(x) $ si intende la derivata di ordine n di y(x) .
Se $y_1,y_2,...,y_n$ sono n soluzioni dell'equazione differenziale omogenea indicata sopra e il determinante (detto wronskiano) :
det $[(y_1(x),y_2(x)...y_n(x)),(y'_1(x),y'_2(x)...y'_n(x)),(y_1^(n)(x),y_2^(n)(x)...y_n^(n)(x))] $
è diverso da zero , allora tutte le soluzioni dell'equazione iniziale sono esprimibili come combinazione lineare di $ y_1,y_2,...y_n $ , cioè nella forma :
$y(x) = c_1y_1(x) +c_2 y_2(x)+.. c_ny_n(x) $ con $ c_1,c_2,..c_n$ costanti opportune
[Per essere rigorosi andrebbero fatte delle ipotesi di continuità sulle funzioni $ a_i(x) $ in un intervallo $ [alpha, beta] $ e bisogna che il determinante wronskiano sia diverso da zero in almeno un punto $x_0$ dell'intervallo $[alpha, beta] $ ].
In conclusione quanto sopra detto significa che l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale omogenea di grado n è un sottospazio vettoriale di dimensione finita n , nello spazio vettoriale , di dimensione infinita , delle funzioni appartenenti a $C^n[ alpha, beta ] $.
Come esempio di uso del determinante wronskiano, considera l'equazione differenziale lineare omogenea( per semplicità a coefficienti costanti) :
$ y'' +y = 0 $ . Le radici dell'equazione caratteristica $ lambda^2+1 = 0 $ sono $ lambda_1 = i ; lambda_2 = -i $.
Le funzioni quindi che verificano l'equazione differenziale sono : $ sin x , cosx $ [ ricorda le formule di Eulero ].
Sono linearmente indipendenti $ sin x , cosx $ e possono quindi essere una base dello spazio delle soluzioni ?
[ Sì , lo sono in quanto : $ asinx+bcosx = 0 $ è verificata per tutti i valori di x, se e solo se $ a=b=0 $ ; poi sono anche ortogonali..]
Ritroviamo il risultato sfruttando il determinante wronskiano : det $ [(y_1 ,y_2),(y'_1,y'_2)] = [(sin x, cosx),(cosx,-sinx )]=-(sin^2x+cos^2x)=-1$ e quindi diverso da 0 sempre.
La soluzione generale dell'equazione differenziale è allora una combinazione lineare di $ sinx, cosx $ : $ y = c_1sin +c_2cosx $ .
I coefficienti $c_1, c_2 $ si determinano conoscendo le condizioni iniziali del problema .
Altro esempio : $y''-5y'+6y = 0 $ . l'equazione caratteristica è : $ lambda^2-5lambda+6 = 0 $; le radici sono $ lambda_1 = 2 ; lambda_2 = 3 $ .
Le funzioni che verificano l'equazione differenziale sono : $e^(2x) , e^(3x) $ .
Sono linearmente indipendenti ?
Verifichiamo con il determinante wronskiano :
det $[(e^(2x), e^(3x)),(2e^(2x),3e^(3x))] = e^(5x) $ sempre diverso da 0 e quindi la soluzione generale è :
$ y = c_1e^(2x)+c_2e^(3x) $ .
$ y'' +y = 0 $ . Le radici dell'equazione caratteristica $ lambda^2+1 = 0 $ sono $ lambda_1 = i ; lambda_2 = -i $.
Le funzioni quindi che verificano l'equazione differenziale sono : $ sin x , cosx $ [ ricorda le formule di Eulero ].
Sono linearmente indipendenti $ sin x , cosx $ e possono quindi essere una base dello spazio delle soluzioni ?
[ Sì , lo sono in quanto : $ asinx+bcosx = 0 $ è verificata per tutti i valori di x, se e solo se $ a=b=0 $ ; poi sono anche ortogonali..]
Ritroviamo il risultato sfruttando il determinante wronskiano : det $ [(y_1 ,y_2),(y'_1,y'_2)] = [(sin x, cosx),(cosx,-sinx )]=-(sin^2x+cos^2x)=-1$ e quindi diverso da 0 sempre.
La soluzione generale dell'equazione differenziale è allora una combinazione lineare di $ sinx, cosx $ : $ y = c_1sin +c_2cosx $ .
I coefficienti $c_1, c_2 $ si determinano conoscendo le condizioni iniziali del problema .
Altro esempio : $y''-5y'+6y = 0 $ . l'equazione caratteristica è : $ lambda^2-5lambda+6 = 0 $; le radici sono $ lambda_1 = 2 ; lambda_2 = 3 $ .
Le funzioni che verificano l'equazione differenziale sono : $e^(2x) , e^(3x) $ .
Sono linearmente indipendenti ?
Verifichiamo con il determinante wronskiano :
det $[(e^(2x), e^(3x)),(2e^(2x),3e^(3x))] = e^(5x) $ sempre diverso da 0 e quindi la soluzione generale è :
$ y = c_1e^(2x)+c_2e^(3x) $ .
Complimenti per la spiegazione Camillo!!
MCM
MCM
"Marvin":
Complimenti per la spiegazione Camillo!!
MCM
Intendiamoci : non è tutta farina del mio sacco !! Io l'ho resa , spero, più digeribile con qualche esempio e qualche spiegazione aggiuntiva !!
..ah,questo esempio mi ha dato una cosa su cui pensare.
Camillo appena ti becco in msn ti contatto...
MCM
Camillo appena ti becco in msn ti contatto...
MCM
Qualcuno ha un esempio di Wronskiano uguale a zero?
Ad esempio : det$[( sin x , 2sinx ),( cos x , 2cosx )] $ ; infatti le due funzioni $ sin x , 2sinx $ non sono lineramente indipendenti.
Ho, intendevo un esempio di equazione differenziale che porta ad avere un Wronskiano nullo...
Non credo che la tua domanda sia posta correttamente .
Il determinante wronskiano serve a determinare se ad es. 2 soluzioni di una equazione differenziale del secondo ordine siano o no linearmente indipendenti.
In generale serve per definire se delle funzioni sono linearmente indipendenti oppure no e questo indipendentemente dal fatto che siano soluzione di una equazione differenziale.
Esempio , considero le funzioni , $x^2,x,1$ notoriamente linearmente indipendenti.
Il loro wronskiano è : det $[(x^2, x , 1 ) ,( 2x ,1 , 0 ),( 2,0,0)] = -2 $ diverso da 0.
Il determinante wronskiano serve a determinare se ad es. 2 soluzioni di una equazione differenziale del secondo ordine siano o no linearmente indipendenti.
In generale serve per definire se delle funzioni sono linearmente indipendenti oppure no e questo indipendentemente dal fatto che siano soluzione di una equazione differenziale.
Esempio , considero le funzioni , $x^2,x,1$ notoriamente linearmente indipendenti.
Il loro wronskiano è : det $[(x^2, x , 1 ) ,( 2x ,1 , 0 ),( 2,0,0)] = -2 $ diverso da 0.
raga è giusto dire che il wronskiano è una funzione di classe c^1 cioè derivabile una volta?
già che ci siamo, scusatemi... ma da dove deriva l'aggetivo "wronskiano"? Penso che l'etimologia sia piuttosto curiosa... prende il nome da un matematico? ... confido nella vostra saggezza...
Thanks, Paolo
Thanks, Paolo
eh già... grazie come al solito per la prontezza e per la precisione dei tuoi interventi, Tipper... 
Prego Paolo, sono 10€. 
"Tipper":
Prego Paolo, sono 10€.
provvederò a fine anno... mandami pure la fattura a casa....
Tipper, ma sei diventato verde??? vado via una settimana in ferie e tu diventi moderatore???
complimenti allora...
complimenti allora...
Grazie Paolo, e bentornato dalle ferie!
Ma dov'è che è scritto che ora sei un moderatore? 
EDIT: Ho capito, però non hai la dicitura moderatore sopra al tuo avatar. Come mai?
EDIT: Ho capito, però non hai la dicitura moderatore sopra al tuo avatar. Come mai?
Boh... sono tanti i moderatori che non hanno la dicitura sopra l'avatar...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo