Wronskiano
Salve non riesco a capire come sia possibile che il Wronskiano nullo non sia una condizione sufficiente per la dipendenza lineare di due funzioni $z_1(t) $ e $ z_2(t)$ appartententi a $ C^2$.
Infatti dato il sistema:
$ { ( c_1z_1(t)+c_2z_2(t)=0 ),( c_1z'_1(t)+c_2z'_2(t)=0 ):} $
questo sistema risulta indeterminato proprio se il Wronskiano è nullo. Essendo indeterminato esistono infinite coppie non banali $(c_1,c_2)$ che soddisfano la condizione di dipendenza lineare. Com'è possibile che queste coppie non esistano, ossia che le funzioni siano indipendenti, nonostante il sistema risulti indeterminato?
Infatti dato il sistema:
$ { ( c_1z_1(t)+c_2z_2(t)=0 ),( c_1z'_1(t)+c_2z'_2(t)=0 ):} $
questo sistema risulta indeterminato proprio se il Wronskiano è nullo. Essendo indeterminato esistono infinite coppie non banali $(c_1,c_2)$ che soddisfano la condizione di dipendenza lineare. Com'è possibile che queste coppie non esistano, ossia che le funzioni siano indipendenti, nonostante il sistema risulti indeterminato?
Risposte
$C^2$ dove?
Esempio: le funzioni definite in $RR\setminus \{0\}$ ponendo:
$z_1(t) := \{(t, ", se " t<0),(0, ", se " t>0):}$
$z_2(t) := \{(0, ", se " t<0),(t, ", se " t>0):}$
sono indipendenti, ma hanno wronskiano nullo.
Esempio: le funzioni definite in $RR\setminus \{0\}$ ponendo:
$z_1(t) := \{(t, ", se " t<0),(0, ", se " t>0):}$
$z_2(t) := \{(0, ", se " t<0),(t, ", se " t>0):}$
sono indipendenti, ma hanno wronskiano nullo.
Sì,scusami, non ho specificato cosa fosse $C^2$, credendo fosse una nomenclatura comune. Per $C^2(I)$ intendo lo spazio delle funzioni derivabili due volte con derivata seconda continua in un certo intervallo $ I $.
Comunque ho trovato più di una controprova, simile alla tua, ma non riesco proprio a capire concettualmente come le funzioni possano essere indipendenti se il sistema ha delle soluzioni non banali.
Supponiamo di calcolare il sistema ${(c_1z_1(t)+c_2z_2(t)=0),(c_1z_1'(t)+c_2z_2'(t)=0):}$ per le due funzioni da te indicate. In particolare scegliamo un valore di t negativo( in un intervallo negativo entrambe le funzioni appartengono a $C^2$
In questo caso il sistema diventerebbe: ${(c_1x+c_2*0=0),(c_1=0):}$ Dunque esistono infinite soluzioni del tipo $(0,c_2)$ con $c_2 != 0$. Questa condizione non è sufficiente per dire che le funzioni sono dipendenti? Forse sbaglio proprio nell'idea che ho di funzioni dipendenti?
Spero di non essere stato troppo confuso, grazie per il tuo tempo.
Comunque ho trovato più di una controprova, simile alla tua, ma non riesco proprio a capire concettualmente come le funzioni possano essere indipendenti se il sistema ha delle soluzioni non banali.
Supponiamo di calcolare il sistema ${(c_1z_1(t)+c_2z_2(t)=0),(c_1z_1'(t)+c_2z_2'(t)=0):}$ per le due funzioni da te indicate. In particolare scegliamo un valore di t negativo( in un intervallo negativo entrambe le funzioni appartengono a $C^2$
In questo caso il sistema diventerebbe: ${(c_1x+c_2*0=0),(c_1=0):}$ Dunque esistono infinite soluzioni del tipo $(0,c_2)$ con $c_2 != 0$. Questa condizione non è sufficiente per dire che le funzioni sono dipendenti? Forse sbaglio proprio nell'idea che ho di funzioni dipendenti?
Spero di non essere stato troppo confuso, grazie per il tuo tempo.
Due funzioni sono indipendenti quando lo sono come vettori dello spazio vettoriale cui appartengono.
Quindi $z_1$ e $z_2$ in $C^k$ sono indipendenti se l’unica loro combinazione lineare identicamente nulla è quella coi coefficienti nulli.
Quindi $z_1$ e $z_2$ in $C^k$ sono indipendenti se l’unica loro combinazione lineare identicamente nulla è quella coi coefficienti nulli.
E, dunque, nel caso del sistema della mia risposta precedente, le funzioni dovrebbero essere dipendenti. Eppure non lo sono , perchè?
"cauchy00":
E, dunque, nel caso del sistema della mia risposta precedente, le funzioni dovrebbero essere dipendenti. Eppure non lo sono , perchè?
Perché sbagli a considerare il dominio.
In $C^2(RR\setminus \{0\})$ le funzioni di cui sopra sono indipendenti, poiché l'unico modo di rendere identicamente nulla la funzione:
$c_1z_1(t) + c_2 z_2(t) =\{(c_1t, ", se " t <0),(c_2t, ", se " t>0):}$
è prendere $c_1=0=c_2$.
Tuttavia, se consideri le restrizioni all'intervallo $]-oo, 0[$, i.e. se ti metti a ragionare in $C^2(]-oo,0[)$, le due funzioni sono dipendenti (e grazie, una delle due è identicamente nulla ed ogni insieme che contiene il vettore nullo è dipendente!).
Più in generale, e veniamo al caso che davvero ci interessa, cioè quello di funzioni $C^2(I)$ con $I$ intervallo non vuoto e non ridotto ad un solo punto, è altrettanto evidente che la condizione di nullità del wronskiano non è sufficiente a garantire la dipendenza di due funzioni: infatti, basta scegliere un $t_0 in "int"I$ e considerare le due funzioni $z_1,z_2:I -> RR$ definite ponendo:
$z_1(t) =\{(0, ", se " t<= t_0),((t-t_0)^4, ", se " t >=t_0):}$
$z_2(t) =\{((t-t_0)^4, ", se " t<= t_0),(0, ", se " t >=t_0):}$,
le quali hanno wronskiano identicamente nullo in $I$ ma risultano indipendenti in $C^2(I)$.
Affinché la condizione di nullità del wronskiano diventi sufficiente c'è bisogno, ad esempio, di restringersi a sottospazi di $C^2(I)$ come quelli costituiti dalle soluzioni di una stessa EDO lineare omogenea del secondo ordine.
Dunque se ho ben capito.
L'insieme delle funzioni dipendenti è costituito da funzioni unicamente con Wronskiano nullo.
Quello delle funzioni indipendenti è costituito sia da funzioni con wronskiano nullo, sia da funzioni con wronskiano che non si annulla. LE funzioni con wronskiano non nullo e che sono soluzioni di una EDO lineare omogenea del secondo ordine sono senza dubbio indipendenti.
L'insieme delle funzioni dipendenti è costituito da funzioni unicamente con Wronskiano nullo.
Quello delle funzioni indipendenti è costituito sia da funzioni con wronskiano nullo, sia da funzioni con wronskiano che non si annulla. LE funzioni con wronskiano non nullo e che sono soluzioni di una EDO lineare omogenea del secondo ordine sono senza dubbio indipendenti.
L'uso dei giusti articoli ha un suo peso... Che vuol dire "l' insieme delle funzioni dipendenti"?
Hai ragione, provo a porla in termini diversi.
Se due funzioni qualunque hanno wronskiano nullo, esse possono essere sia dipendenti, sia indipendenti.
Se due funzioni soluzioni di una EDO lineare omogenea di secondo ordine hanno wronskiano nullo, esse sono certamente indipendenti.
Se due funzioni qualunque hanno wronskiano nullo, esse possono essere sia dipendenti, sia indipendenti.
Se due funzioni soluzioni di una EDO lineare omogenea di secondo ordine hanno wronskiano nullo, esse sono certamente indipendenti.
"cauchy00":
Se due funzioni qualunque hanno wronskiano nullo, esse possono essere sia dipendenti, sia indipendenti.
Esatto.
Mentre qui c'è da fare una correzione:
"cauchy00":
Se due funzioni soluzioni di una EDO lineare omogenea di secondo ordine hanno wronskiano nullo, esse sono certamente [strike]in[/strike]dipendenti.
Sì giusto, è una svista. Il sistema è indeterminato dunque esistono infine coppie non banali di reali che soddisfano la condizione di dipendenza lineare. Grazie!
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