Wolframalpha sbaglia il calcolo dell'integrale?

[21zuclo]

Ciao a tutti, ero alle prese con un integrale sempre, e per controllare il risultato sono andato su Wolframalpha, ma da un risultato diverso. Com'è possibile?

C'è da calcolare $ \int_(-\pi/4)^(\pi/4) cos(x)\sin^2(x)dx $

allora l'integrale si calcola facilmente
perchè è della forma $ \int f'(x)f^(\alpha)(x)dx= (f^(\alpha+1)(x))/(\alpha+1)+C $

Ok, quindi vado a calcolare

$ 1/3 \cdot [sin^(3)(-\pi/4)-\sin^3(\pi/4)]=1/3 \cdot [(-\sqrt(2)/(2))^3-(\sqrt(2)/(2))^3] $

Allora, ovviamente esce un numero negativo
$ 1/3\cdot [- (\sqrt(2))^3/(2^3)-(\sqrt(2))^3/(2^3)]=1/3\cdot (-2(\sqrt(2))^3)/(2^3) $

perché invece per Wolframalpha il risultato è positivo?.. secondo lui viene $ (1)/(3\sqrt(2)) $

Vi lascio qui in link.. clicca qui

[Mathita]

Nell'intervallo $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ la funzione integranda è non negativa in quanto prodotto di funzioni non negative, sicché l'integrale dovrà necessariamente essere non negativo per monotonia. Ho l'impressione che tu abbia inavvertitamente invertito gli estremi di integrazione.

[Mephlip]

Concordo pesantemente con Mathita, mi sento anche di confermare la sua ultima parte sugli estremi di integrazione; infatti calcoli erroneamente questa parte

"21zuclo":$ 1/3 \cdot [sin^(3)(-\pi/4)-\sin^3(\pi/4)]=1/3 \cdot [(-\sqrt(2)/(2))^3-(\sqrt(2)/(2))^3] $

Sostituendo $f(-\frac{pi}{4})-f(\frac{pi}{4})$, invece di $f(\frac{pi}{4})-f(-\frac{pi}{4})$; questo è sbagliato, in quanto per il teorema fondamentale del calcolo integrale
$$\int_a^b f(x) dx= F(b)-F(a)$$
Dove $F$ è una primitiva di $f$.

[pilloeffe]

Ciao 21zuclo,

"21zuclo":perché invece per Wolframalpha il risultato è positivo?

Ha ragione WolframAlpha e coloro che mi hanno preceduto nella risposta, infatti si ha:

$\int cos x sin^2 x dx = (sin^3 x)/3 + c $

Pertanto si ha:

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} cos x sin^2 x dx = [ (sin^3 x)/3]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 1/3 [sin^3 (\pi/4) - sin^3 (-\pi/4)] = 1/3 [1/(2\sqrt{2}) + 1/(2\sqrt{2})] = 1/(3\sqrt{2}) = sqrt{2}/6 $

[21zuclo]

Cavolo, che errore scemo!.