Weierstrass

[delca85]

Ciao a tutti!Qualcuno mi dimostra il teorema di Weierstrass nella parte della dimostrazione di esistenza del minimo?Riesco a dimostrare l'esistenza del massimo,utilizzando il teorema sulla convergenza della successione estratta di Bolzano Weierstrass,ma non riesco a fare la parte del minimo nonostante dovrebbe essere fatta allo stesso modo..
Grazie!

[leev]

con minimo e massimo intendi i punti di accumulazione inferiore e superiore di una successione reale e limitata?

oppure ti riferisci a un altro teorema?

[delca85]

No,intendo dire il teorema che afferma che ogni funzione cointinua definita in un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo.

[Studente Anonimo]

Puoi dire che l'immagine è un compatto di $RR$ (perché funzioni continue mandano compatti in compatti), quindi chiusa e limitata. Ora si tratta di mostrare che un sottoinsieme di $RR$ chiuso e limitato ammette massimo e minimo, e per questo basta prendere l'inf e il sup (che sono finiti per la limitatezza) e mostrare che appartengono all'insieme (utilizzando la chiusura).

Credo che l'unica cosa eventualmente fastidiosa è che potresti non aver visto la definizione generale di spazio compatto, e di conseguenza potresti non sapere che l'immagine continua di un compatto è compatta. Se non è così, quello che ho detto dovrebbe ben funzionare

[gugo82]

"delca85":Ciao a tutti!Qualcuno mi dimostra il teorema di Weierstrass nella parte della dimostrazione di esistenza del minimo?Riesco a dimostrare l'esistenza del massimo,utilizzando il teorema sulla convergenza della successione estratta di Bolzano Weierstrass,ma non riesco a fare la parte del minimo nonostante dovrebbe essere fatta allo stesso modo..
Grazie!

Per dimostrare che $f$ ha minimo basta applicare quello che hai già dimostrato a $-f$: infatti, detto $x_0in[a,b]$ il punto in cui $-f$ assume il valore massimo, hai $-f(x_0)=max_([a,b]) -f=-min_([a,b]) f$ quindi $f(x_0)=min_([a,b]) f$.