Volume tra superfici

[GingerG88]

Salve, ho un problema con questo esercizio:
Trovare il volume del solido compreso tra le superfici

x^2/4+y^2/25-z^2/81=1, z=6, z=-2

in pratica si tratta di calcolare il volume di un iperboloide a una falda contenuto tra due piani paralleli all'asse xy.
Attraverso l'intersezione con i piani z trovo due ellissi, ma non so proprio come calcolare il volume con le formula degli integrali doppi.

Grazie in anticipo

[gugo82]

Immagina un minuto la situazione.

Prendi un piano di equazione \(z=h\), con \(h\in [-2,6]\); tale piano taglia il tuo solido \(E\) e la sezione che esso determina è un'ellisse (i.e., tutta l'ellisse, non solo il bordo) \(E_h\); per il principio di Cavalieri, hai perciò:
\[
\operatorname{vol} (E) = \int_{-2}^6 \operatorname{area}(E_h)\ \text{d} h\; ,
\]
in cui \(\operatorname{area}(E_h)\) è l'area dell'ellisse \(E_h\) nel piano di equazione \(z=h\); quindi tutto sta a calcolare \(\operatorname{area}(E_h)\).
Se proietti \(E_h\) sul piano \(Oxy\) trovi l'ellisse descritta dalla limitazione:
\[
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} \leq 1+\frac{h^2}{81}
\]
la quale ha la stessa area di \(E_h\); quindi \(\operatorname{area}(E_h)\) si può calcolare facilmente o usando nozioni di Geometria Elementare, oppure gli integrali doppi.

Ad esempio, è un fatto sufficientemente noto che l'area di un'ellisse si calcola usando le lunghezze dei suoi due semiassi \(a,b\) mediante la formula \(\pi\ ab\) (che generalizza la nota formula per l'area del cerchio e si riduce a questa per \(a=b=r\)); nel caso in esame, l'equazione canonica del bordo dell'ellisse con la quale stiamo identificando \(E_h\) è:
\[
\frac{x^2}{\frac{4\ (81+h^2)}{81}} + \frac{y^2}{\frac{25\ (81+h^2)}{81}} = 1
\]
dunque:
\[
\begin{split}
a &=a(h) \\
&= \sqrt{\frac{4\ (81+h^2)}{81}} \\
&= \frac{2}{9}\ \sqrt{81+h^2}\\
b &= b(h)\\
&= \sqrt{\frac{25\ (81+h^2)}{81}} \\
&= \frac{5}{9}\ \sqrt{81+h^2}
\end{split}
\]
sicché:
\[
\operatorname{area} (E_h) = \pi\ a(h)\ b(h) = \frac{10}{81}\ (81 + h^2)\; .
\]
Concludere l'esercizio è un gioco.

[GingerG88]

per z=6 ottengo l' ellisse $ x^2/(52/9 )+y^"/(325/9)=1 $
per z=-2 ottengo l'ellisse $ x^2/(340/81)+y^2/(2125/9)=1 $

non riesco a capire qual'è il dominio ne qual'è l area $ E(h) $

negli esercizi precedenti ho usato la formula $ V=intint_(D)(f_(1)(x,y)-f_(2)(x,y))dxdy $
e effettuato il cambiante in cordinate polari
$ { ( x=rho cosomega ),( y=rho senomega ):} $

all'inizio pensavo bastasse fare

V=$ int_0^(2pi)int_6^-2 sqrt(x^2/(4/81)+y^2/(25/81) -1/81) dxdy $
sostituendo le coordinate polari

Credo di non aver capito come impostare gli integrali doppi, mi scuso per le mie carenze ma sono un po confusa su questo argomento..