Volume tra 2 superfici
Salve a tutti,
ho da poco svolto l'esame di Analisi 2 (non è andato male però non è stato affatto semplice xd) e nel compito mi è capitato un esercizio di questo tipo:
"Calcolare il volume T compreso tra le superfici $ z = 2 - sqrt(x^2 + y^2) $ e $ z = x^2 + y^2 $ ". Non ricordo la traccia a memoria ma più o meno era questa. Volevo dunque farvi qualche domanda per capire se l'ho svolto correttamente o, in caso contrario, capire come andava svolto.
All'inizio non avevo ben capito il tipo di grafico, poi ragionandoci un po' mi è venuto in mente che il primo era un cono di altezza 2 mentre il secondo è un paraboloide con vertice nell'origine.
Ho provato a ricreare l'immagine (almeno in sezione) su un sito online per farvi capire (spero si veda). Praticamente basta unire i punti di intersezioni tra le due figure e tralasciare i prolungamenti (non riesco ad usare geonext e simili, java mi dà problemi).
[img]http://www.mathe-fa.de/it.plot.png?uid=5765167d6ed010.53559200[/img]
Per risolvere il quesito ho calcolato con degli integrali tripli (usando le coordinate cilindriche) i volumi delle due figure e poi ho sottratto quello del paraboloide a quello del cono. Vi mostro l'impostazione iniziale.
Volume del cono
$ int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(2) dz int_(0)^(2-z)rho drho $
Volume del paraboloide
$ int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(1) dz int_(0)^(sqrt(z))rho drho $
$ Vol(T) = int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(2) dz int_(0)^(2-z)rho drho - int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(1) dz int_(0)^(sqrt(z))rho drho $
Al di là dei calcoli, che per la fretta probabilmente ho anche sbgliato, dite che il procedimente è giusto?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione
ho da poco svolto l'esame di Analisi 2 (non è andato male però non è stato affatto semplice xd) e nel compito mi è capitato un esercizio di questo tipo:
"Calcolare il volume T compreso tra le superfici $ z = 2 - sqrt(x^2 + y^2) $ e $ z = x^2 + y^2 $ ". Non ricordo la traccia a memoria ma più o meno era questa. Volevo dunque farvi qualche domanda per capire se l'ho svolto correttamente o, in caso contrario, capire come andava svolto.
All'inizio non avevo ben capito il tipo di grafico, poi ragionandoci un po' mi è venuto in mente che il primo era un cono di altezza 2 mentre il secondo è un paraboloide con vertice nell'origine.
Ho provato a ricreare l'immagine (almeno in sezione) su un sito online per farvi capire (spero si veda). Praticamente basta unire i punti di intersezioni tra le due figure e tralasciare i prolungamenti (non riesco ad usare geonext e simili, java mi dà problemi).
[img]http://www.mathe-fa.de/it.plot.png?uid=5765167d6ed010.53559200[/img]
Per risolvere il quesito ho calcolato con degli integrali tripli (usando le coordinate cilindriche) i volumi delle due figure e poi ho sottratto quello del paraboloide a quello del cono. Vi mostro l'impostazione iniziale.
Volume del cono
$ int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(2) dz int_(0)^(2-z)rho drho $
Volume del paraboloide
$ int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(1) dz int_(0)^(sqrt(z))rho drho $
$ Vol(T) = int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(2) dz int_(0)^(2-z)rho drho - int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(1) dz int_(0)^(sqrt(z))rho drho $
Al di là dei calcoli, che per la fretta probabilmente ho anche sbgliato, dite che il procedimente è giusto?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione
Risposte
Cosa vuol dire "ho calcolato i volumi delle due figure e le ho sottratte?'
Scusami forse mi sono espresso male. Intendevo dire che ho calcolato l'integrale triplo del cono, poi quello del paraboloide e infine ho fatto (risultato dell'integrale triplo del cono) - (risultato dell'integrale triplo del paraboloide).
Dalla tua risposta intuisco che forse ho fatto qualcosa che non c'entrava niente con la richiesta del problema, giusto? XD
Dalla tua risposta intuisco che forse ho fatto qualcosa che non c'entrava niente con la richiesta del problema, giusto? XD
No la mia risposta era perché non capisco cosa intendi per "volume del cono e del paraboloide" se non specifichi quale volume.
Dall'immagine si vede che il volume richiesto è quello contenuto nella zona compresa tra le due curve. Tu cosa intendi per "volume del cono"? intendi il volume compreso tra la curva blu e l'asse x? e cosa intendi per volume del paraboloide? Tra quali curve è compreso il volume del paraboloide che hai calcolato? Se mi spieghi questo possono dire se il procedimento è sbagliato o no.
Dall'immagine si vede che il volume richiesto è quello contenuto nella zona compresa tra le due curve. Tu cosa intendi per "volume del cono"? intendi il volume compreso tra la curva blu e l'asse x? e cosa intendi per volume del paraboloide? Tra quali curve è compreso il volume del paraboloide che hai calcolato? Se mi spieghi questo possono dire se il procedimento è sbagliato o no.
Scusami se rispondo solo ora e se non mi sono fatto capire dall'inizio.
Hai intuito giusto, per "volume del cono" intendo il volume compreso tra la curva blu e l'asse x mentre per "volume del paraboloide" intendo il volume compreso tra la curva rossa e il segmento che congiunge i punti d'intersezione delle due curve (che rappresenta una sorta di ""tappo" del paraboloide, non so se mi sono spiegato... ).
Nel primo messaggio avevo inserito gli integrali tripli che secondo me corrispondevano ai volumi delle 2 figure.
Ora l'ho modificato e ho inserito la sottrazione tra i volumi delle 2 figure fatta da me per trovare il volume T richiesto (giusto per maggior chiarezza).
Hai intuito giusto, per "volume del cono" intendo il volume compreso tra la curva blu e l'asse x mentre per "volume del paraboloide" intendo il volume compreso tra la curva rossa e il segmento che congiunge i punti d'intersezione delle due curve (che rappresenta una sorta di ""tappo" del paraboloide, non so se mi sono spiegato... ).
Nel primo messaggio avevo inserito gli integrali tripli che secondo me corrispondevano ai volumi delle 2 figure.
Ora l'ho modificato e ho inserito la sottrazione tra i volumi delle 2 figure fatta da me per trovare il volume T richiesto (giusto per maggior chiarezza).
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