Volume superficie di rotazione

[mauri54]

Anche questo esercizio non mi torna tanto.

Sia \( \gamma(t)=(\sin(2t)\cos(t),\sin(2t)\sin(t)) \) con \( t\in[0,\pi/2] \) e sia D la regione in essa racchiusa.
Calcolare il volume ottenuto facendo ruotare $D$ intorno all'asse x.

Io pensavo di usare il teorema di Guldino \( Vol(S)=2\pi \displaystyle \int_A ydxdy \), ma anche qui mi sembra che l'integrale sia complicato se parametrizzo la superficie in questo modo \( \phi(\rho,t)=(\rho\sin(2t)cos(t),\rho\sin(2t)\sin(t)) \) con \( t\in[0,\pi/2],\ \rho\in[0,1] \) . Lo jacobiano non viene bellissimo.

C'è un modo più semplice secondo voi?

[mauri54]

"TeM":Il secondo teorema di Pappo-Guldino afferma che il volume di un solido \(\Omega\) ottenuto ruotando una superficie
piana \(\Sigma\), di baricentro \(G\), di un angolo \(\small \alpha\in[0,\,2\pi]\) attorno ad un asse \(a\) ad essa esterno e complanare è pari a \[ \left|\Omega\right| = \alpha \cdot \text{dist}\left(G,\,a\right) \cdot \left|\Sigma\right|. \] Nel caso particolare in cui \(\alpha = 2\pi\) e l'asse \(a\) coincida con l'asse \(x\), ci si riduce al seguente calcolo: \[ \left|\Omega\right| = 2\pi\cdot \left|y_G\right|\cdot \left|\Sigma\right| = 2\pi \left|\iint\limits_{\Sigma} y\,\text{d}\sigma\right|\,. \] Inoltre, se la superficie piana \(\Sigma\) è parametrizzabile nel seguente modo: \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(u,\,v) = \left( u\,f(v)\,\cos v, \; u\,f(v)\,\sin v, \, 0 \right) \; \; \; \text{per} \; (u,\,v) \in A \subseteq \mathbb{R}^2\,, \] applicando la definizione di integrale di superficie, si ottiene:
\[ |\Omega| = 2\pi\left|\iint\limits_A y(u,\,v)\left|\mathbf{r}_u(u,\,v) \land \mathbf{r}_v(u,\,v)\right|\text{d}u\,\text{d}v \right| = 2\pi\left|\iint\limits_A f(v)^3\left(u\,|u|\,\sin v\right)\text{d}u\,\text{d}v \right|. \] Non solo! Nel caso particolare in cui \(A = [0,\,1] \times \left[v_1,\,v_2\right]\), il tutto si riduce al seguente calcolo: \[ |\Omega| = \frac{2}{3}\pi\left|\int_{v_1}^{v_2} f(v)^3\,\sin v\,\text{d}v \right|, \] dove, nel caso in esame, è sufficiente integrare ponendo \(f(v) = \sin(2\,v)\) e \(\left[v_1,\,v_2\right] = \left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]\).

Grazie mille! Semplifica molto l'integrale ma mi sembra abbastanza complicato da risolvere. Tu ci sei riuscito?

[mauri54]

"TeM":In base a quanto sopra scritto, si ottiene:
\[ \begin{aligned}
|\Omega|
& = \frac{2}{3}\pi\left|\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(2\,v)\,\sin v\,\text{d}v \right| \\
& = \frac{16}{3}\pi\left|\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 v\,\cos^3 v\,\sin v\,\text{d}v \right| \\
& = \frac{16}{3}\pi\left|\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 v\,\cos^2 v\,\cos v\,\text{d}v \right| \\
& = \frac{16}{3}\pi\left|\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 v \left(1-\sin^2 v\right) \left(\cos v\,\text{d}v\right) \right| \\
& = \frac{16}{3}\pi\left|\int_0^1 z^4 \left(1-z^2\right)\text{d}z \right| \\
& = \frac{16}{3}\pi\left|\int_0^1 z^4\,\text{d}z - \int_0^1 z^6\,\text{d}z \right| \\
& = \frac{16}{3}\pi\left|\frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right| \\
& = \frac{32}{105}\,\pi\,.
\end{aligned}\] Insomma, un po' noioso nei calcoli, ma tutto di ordinaria amministrazione.

Va be ho capito che natale e capodanno mi hanno fatto male e tu sei molto bravo! Grazie mille