Volume solido

[mauri54]

Es. Calcolare il volume di $ \Omega={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|(2x-z)^2+(y-z)^2<= z^2,\ 0<= 2x+y+z<= 1} $
Di solito ho sempre calcolato gli integrali su insiemi che riuscivo a visualizzare.
Questo mi sembra un po' più complicato. Mi potreste aiutare a capire come si fa? Si deve fare un cambio di coordinate?

[killing_buddha]

$2x-z=X$; $y-z=Y$, $z=Z$. Tieni a mente il determinante della matrice che realizza questo cambio di coordinate (è 2). Fai l'integrale sul dominio cambiato, che ora è di forma più semplice, usando il teorema per fare gli integrali cambiando variabile. Nota che $\Omega$ cambia forma e diventa
\[
\Omega ' = \{(X,Y,Z) \mid X^2+Y^2\le Z^2 , \quad 0\le X+Y+3Z\le 1\}
\] da qui dovresti saper andare avanti:
\[
\iint\left(\int_{1-\frac{X+Y}{3}}^{\frac{X+Y}{3}}dZ \right)dXdY\dots
\]

[mauri54]

"killing_buddha":$2x-z=X$; $y-z=Y$, $z=Z$. Tieni a mente il determinante della matrice che realizza questo cambio di coordinate (è 2). Fai l'integrale sul dominio cambiato, che ora è di forma più semplice, usando il teorema per fare gli integrali cambiando variabile. Nota che $\Omega$ cambia forma e diventa
\[
\Omega ' = \{(X,Y,Z) \mid X^2+Y^2\le Z^2 , \quad 0\le X+Y+3Z\le 1\}
\] da qui dovresti saper andare avanti:
\[
\iint\left(\int_{1-\frac{X+Y}{3}}^{\frac{X+Y}{3}}dZ \right)dXdY\dots
\]

CIao Killing e grazie per la risposta.
Il determinante dello jacobiano non è $\frac{1}{2}$? Gli estremi non dovrebbero essere
\[
\frac{1}{2}\iint\left(\int_{\frac{-X-Y}{3}}^{\frac{1-X-Y}{3}}dZ \right)dXdY =\frac{1}{2}\iint_{X^2+Y^2\leq Z^2}\frac{1}{3} dX dY?
\]
In ogni caso dopo come faresti l'integrale? Fissata la z la sezione è un cerchio di raggio z?

[killing_buddha]

Sì, forse ho fatto il determinante dell'inversa; ovviamente non muoio dalla voglia di fare il conto ho già dato anni fa

[mauri54]

No no non volevo che mi facessi per forza il conto ma capire solo se quello che ho detto è sensato.