Volume solidi di rotazione (Analisi II)

[DoppioZero]

Salve, mi sorge un dubbio riguardo al volume di un solido di rotazione. Data una funzione $ y=f(z) $ con $ z \in [a,b] $ come calcolo il volume del solido generato dalla rotazione di questa funzione attorno all'asse z? Esistono più modi? perchè io uso il seguente: $ V=int_(a)^(b) [f(z)]^2 dz $ vorrei sapere se ne esistono anche altri

[mazzarri1]

ciao 00

io conosco il tuo... però con l'aggiunta di un $pi$ che forse hai scordato

$V=pi int_a^b (f(x)^2) dx$

[Noisemaker]

Sia $f$ una funzione non negativa definita per $a\le z\le b$ nel piano $zy$ e consideriamo l'insieme
\begin{align*}
D=\{(y,z)\in\mathbb{R}^2: a\le z\le b,\,\,0\le y\le f(z)\}.
\end{align*}
Inoltre sia $S$ l'insieme ottenuto ruotando $D$ attorno all'asse $z$,
\begin{align*}
S=\{(x, y,z)\in\mathbb{R}^3: a\le z\le b,\,\,0\le x^2+y^2\le f^2(z)\}.
\end{align*}
Integrando per sezioni, il volume di $S$ è dato da
\begin{align*}
|S| &=\iiint\limits_{S} dxdydz=\int_{z=a}^{b}\iint\limits_{S(z)}dxdydz
=\int_{z=a}^{b}\pi|S(z)|dz=\pi\int_{z=a}^{b}f^2(z) dz
\end{align*}


Si può però osservare che, passando in coordinate cilindriche si ha che il volume $|S|$ è uguale a
\begin{align}
|S| &=\iiint\limits_{S} dxdydz=2\pi\int_{z=a}^{b}
\int_{\rho=0}^{f(z)}\rho\,\,d\rho dz\\
&=2\pi\iint\limits_{D} \rho\,\,d\rho dz=2\pi\cdot\bar \rho\cdot|D|,
\end{align}

dove $\bar\rho$ è la coordinata $y$ del centro di massa dell'insieme $D$. Tale relazione viene indicata come teorema di Pappo-Guldino