Volume parte di un cilindro
ciao ragazzi ho un problema con questo esercizio:
Trovare l'equazione del piano tangente alla superficie $x^2+y^2-z=0$ nel punto $(1,1,2)$.
Calcolare il volume della parte di cilindro ${(x,y,z) : (x-3)^2 +(y-3)^2<=1/4}$compresa tra il piano $z=0$ ed il piano trovato.
Allora innanzitutto ho calcolato l'equazione del piano tangente alla superficie e mi trovo: $z=2x+2y-2$.Poi ho tentato di fare un disegno anche se con scarsi risultati.Il problema è che non riesco proprio a impostarlo.Devo fare un integrale doppio o triplo(della funzione identicamente uguale 1)?Grazie
Trovare l'equazione del piano tangente alla superficie $x^2+y^2-z=0$ nel punto $(1,1,2)$.
Calcolare il volume della parte di cilindro ${(x,y,z) : (x-3)^2 +(y-3)^2<=1/4}$compresa tra il piano $z=0$ ed il piano trovato.
Allora innanzitutto ho calcolato l'equazione del piano tangente alla superficie e mi trovo: $z=2x+2y-2$.Poi ho tentato di fare un disegno anche se con scarsi risultati.Il problema è che non riesco proprio a impostarlo.Devo fare un integrale doppio o triplo(della funzione identicamente uguale 1)?Grazie
Risposte
ho pensato di fare l'integrale triplo della funzione uguale a 1 facendo variare la z tra 0 e il piano tangente ma non so la x e la y tra cosa variano ne rispetto a quali assi il dominio è normale.é corretto muoversi su questa strada?
EDIT: forse essendo il cilindro centrato in $(3,3)$ posso far variare la $x$ tra $3-1/2$ e $3+1/2$ mentre la y?
EDIT: forse essendo il cilindro centrato in $(3,3)$ posso far variare la $x$ tra $3-1/2$ e $3+1/2$ mentre la y?
Il disegno non è molto difficile da fare: è un cilindro che poggia sul piano xy e tagliato obliquamente in alto. Comunque, non è necessario farlo, ma è utile per rendersi conto che il dominio è normale.
Io direi che, passando in opportune coordinate cilindriche, dovresti risolvere abbastanza facilmente. In ogni caso, se vuoi proseguire come stavi facendo, sono corretti gli intervalli in cui variano $x$ e $y$. In alternativa, avresti potuto anche traslare gli assi, centrando il cilindro nell'origine.
Io direi che, passando in opportune coordinate cilindriche, dovresti risolvere abbastanza facilmente. In ogni caso, se vuoi proseguire come stavi facendo, sono corretti gli intervalli in cui variano $x$ e $y$. In alternativa, avresti potuto anche traslare gli assi, centrando il cilindro nell'origine.
grazie per la risposta quindi in definitiva ho che il mio dominio è ${ 5/2<=x<=7/2, 5/2<=y<=7/2,0<=z<=2x+2y-2}$ giusto? In ogni caso se volessi passare a coordinate cilindriche come faccio visto che non le ho capite molto bene. grazie 
Cos'è che non hai capito delle coordinate cilindriche? Come trovare gli intervalli in cui variano le tue nuove coordinate?
Se è questo, dipende da caso a caso. Ma in generale, o dal disegno o risolvendo opportune disuguaglianze si capisce. Prova a trasformare il tuo dominio [tex]$\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | (x-3)^2+(y-3)^2 \leq \frac{1}{4}, 0 \leq z \leq 2x+2y-2\}$[/tex], passando in coordinate cilindriche.
Hint: in questo caso ti conviene traslarle visto che il cilindro non è centrato nell'origine; ovviamente il determinante jacobiano rimarrà invariato.
[tex]$\begin{cases} x= 3 + \rho \cos \theta \\ y = 3 + \rho \sin \theta \\ z = z \end{cases}$[/tex]
Se è questo, dipende da caso a caso. Ma in generale, o dal disegno o risolvendo opportune disuguaglianze si capisce. Prova a trasformare il tuo dominio [tex]$\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | (x-3)^2+(y-3)^2 \leq \frac{1}{4}, 0 \leq z \leq 2x+2y-2\}$[/tex], passando in coordinate cilindriche.
Hint: in questo caso ti conviene traslarle visto che il cilindro non è centrato nell'origine; ovviamente il determinante jacobiano rimarrà invariato.
[tex]$\begin{cases} x= 3 + \rho \cos \theta \\ y = 3 + \rho \sin \theta \\ z = z \end{cases}$[/tex]
si il problema è che non ho fatto molti esercizi su coordinate sferiche,cilindriche quindi non ho molta dimestichezza,però penso di aver capito ora.Facendo un po' di conti mi viene:
${0<=rho<=1/2,0<=theta<=2pi,0<=z<=10+2rho(cos(theta9+sin(theta))$è giusto?mi basta fare l'integrale triplo della funzione identicamente uguale ad 1 normale o rispetto a $rho$o a $theta$ non dimenticandomi dello jacobiano vero? In ogni caso senza passare a coordinate cilindriche il dominio che ho scritto nel post prima va bene?grazie per la pazienza
${0<=rho<=1/2,0<=theta<=2pi,0<=z<=10+2rho(cos(theta9+sin(theta))$è giusto?mi basta fare l'integrale triplo della funzione identicamente uguale ad 1 normale o rispetto a $rho$o a $theta$ non dimenticandomi dello jacobiano vero? In ogni caso senza passare a coordinate cilindriche il dominio che ho scritto nel post prima va bene?grazie per la pazienza
Scusami se non ti ho corretto subito, andavo di fretta prima 
Comunque, la $x$ e la $y$ prendono valori in quegli intervalli nel tuo caso. Ma devi decidere quale tra $x$ e $y$ limitare tramite due funzioni continue (che sarebbero le due semicirconferenze). Altrimenti, in quel modo la base non è più un cerchio ma un quadrato. Per questo, dicevo che era più semplice passare in coordinate cilindriche.
In ogni caso, nel trasformato del dominio scritto in coordinate cilindriche hai sbagliato qualcosa nella $z$. Da dove esce quel $10$? (Certo! Non devi dimenticare lo jacobiano )
Comunque, ti consiglio di provare in entrambi i modi, così pian piano prendi dimestichezza coi cambi di coordinate e acquisisci esperienza per capire quali è meglio scegliere.
Comunque, la $x$ e la $y$ prendono valori in quegli intervalli nel tuo caso. Ma devi decidere quale tra $x$ e $y$ limitare tramite due funzioni continue (che sarebbero le due semicirconferenze). Altrimenti, in quel modo la base non è più un cerchio ma un quadrato. Per questo, dicevo che era più semplice passare in coordinate cilindriche.
In ogni caso, nel trasformato del dominio scritto in coordinate cilindriche hai sbagliato qualcosa nella $z$. Da dove esce quel $10$? (Certo! Non devi dimenticare lo jacobiano
)Comunque, ti consiglio di provare in entrambi i modi, così pian piano prendi dimestichezza coi cambi di coordinate e acquisisci esperienza per capire quali è meglio scegliere.
uhm il 10 esce da qua$0<=z<=2(3+rhocos(theta))+2(3+rhosin(theta))-2$no?
Ah sì, scusami! Hai ragione
Hai capito comunque come rappresentare il dominio senza le coordinate cilindriche?
Hai capito comunque come rappresentare il dominio senza le coordinate cilindriche?
XD uhm penso di si allora faccio variare la x tra $5/2 e 7/2$ mentre la y tra $7/2$ e $3+sqrt((1/4)-(x-3)^2)$ ?
EDIT:no mi sa che la y dovrebbe variare tra $3-sqrt((1/4)-(x-3)^2)$ e $3+sqrt((1/4)-(x-3)^2)$ ma non sono molto sicuro
EDIT:no mi sa che la y dovrebbe variare tra $3-sqrt((1/4)-(x-3)^2)$ e $3+sqrt((1/4)-(x-3)^2)$ ma non sono molto sicuro
Sì, puoi fare così. Come vedi adesso l'integrazione è molto più semplice nel caso delle coordinate cilindriche 
"Antimius":
Sì, puoi fare così. Come vedi adesso l'integrazione è molto più semplice nel caso delle coordinate cilindriche
direi di si heheh grazie mille gentilissimo!
Di nulla
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo