Volume n-dimensionale di una sfera e di una palla

[CLaudio Nine]

Buonasera a tutti,

Ho quattro dubbi riguardo a delle definizioni che non mi sono molto chiare, forse perché so poco e nulla di topologia.

Consideriamo:

[*:2a96nugw] la sfera $S(x, r)$, ovvero la sfera centrata in $x$ e di raggio $r$
[/*:m:2a96nugw]
[*:2a96nugw] la palla $B(x, r)$, ovvero la palla centrata in $x$ e di raggio $r$ [/*:m:2a96nugw][/list:u:2a96nugw]
($B$ sta per "ball")


Qualcuno saprebbe dirmi:

1) cosa rappresenta il volume n-dimensionale di una sfera, ovvero $V_n(S(x,r))$ ?
2) una sfera non è sempre tridimensionale? che senso ha parlare di volume 2-dimensionale o 4-dimensionale di una sfera?
3) cosa rappresenta il volume n-dimensionale di una palla, ovvero $V_n(B(x,r))$?
4) una palla non è sempre bidimensionale? che senso ha parlare di volume 1-dimensionale o 3-dimensionale di una palla?

grazie a chiunque mi sappia rispondere!

[megas_archon]

1) la sua misura $n$-dimensionale.
2) no. Parlare di volume $n$-dimensionale ha senso.
3) la sua misura $n$-dimensionale.
4) no.

"Sì, ma perché?"

Aspetta (?) di fare un corso di teoria della misura (in realtà basta che ti spieghino gli integrali di Lebesgue).

[otta96]

Puoi definire la palla e la sfera in ogni spazio metrico $(X,d)$ nel seguente modo $B(x,r)={y\inX|d(x,y) Quindi nel caso di $RR^n$, le palle hanno dimensione $n$, e le sfere dimensione $n-1$, e il volume $n$-dimensionale delle palle è la loro misura $n$-dimensionale di Lebesgue.
Poi il volume $n$-dimensionale delle sfere è la misura $n-1$-dimensionale indotta sulle ipersuperfici di $RR^n$ dalla misura di Lebesgue.

[pilloeffe]

Ciao CLaudio Nine,

Non è proprio immediato dimostrarlo, ma si ha:

$V_n [B(0, r)] = \omega_n \int_0^r \rho^{n - 1}\text{d}\rho = \omega_n r^n/n $

ove

\begin{equation*}
\boxed{
\omega_n =
\begin{cases}
\dfrac{2{\pi}^\frac{n}{2}}{(\frac{n}{2} - 1)!}& \text{per $n$ pari}\\
& \hskip 3.0cm \\
\dfrac{2^{\frac{n + 1}{2}}\,{\pi}^{\frac{n - 1}{2}}}{(n - 2)!!}& \text{per $n$ dispari}\\
\end{cases}
\label{omega_n:equation_n,pi,intgauss}}
\end{equation*}

è un numero che dipende solo dalla dimensione dello spazio e rappresenta la superficie della sfera di raggio $1$ in $\RR^n$: ad esempio per $n = 2$ si ottiene $\omega_2 = 2 \pi$ che rappresenta la lunghezza della circonferenza di raggio $1$, per $n = 3$ si ottiene $\omega_3 = 4 \pi$ che rappresenta la superficie della sfera di raggio $1$ e così via.

Per $n = 2$ si ottiene $V_2 [B(0, r)] = \pi r^2$ che rappresenta la superficie del cerchio di raggio $r$, per $n = 3$ si ottiene $V_3 [B(0,r)] = \frac{4}{3}\pi r^3$ che rappresenta il volume della sfera di raggio $r$ e così via.

[CLaudio Nine]

Grazie mille otta96.
Quindi, detto in maniera brutale...
la palla è "quello che sta all'interno considerando una certa distanza"
la sfera è "quello che sta a una certa distanza"

Grazie anche a pilloeffe!