Volume e momento d'inerzia cono

[Sossella1]

Ciao a tutti! Oggi mi trovo ad affrontare il calcolo del volume e del momento d'inerzia, rispetto all'asse z, del solido di massa m rappresentato da $ C={(x,y,z)|z in[0,h], sqrt(x^2+y^2)<=((h-z)^3)/h^2} $ che è un cono
Parto a calcolare la massa, utilizzando la formula $ int int int_(C)dx dy dz = int_0^h dz int int_(sqrt(x^2+y^2)<=((h-z)^3)/h^2 )dx dy $ Ecco, il mio dubbio parte adesso...come trasformo il secondo integrale per calcolarlo??

Grazie

[Sossella1]

"TeM":Dunque, avendo ben presenti i solidi qui mostrati, presumo che quello in esame sia il seguente: \[ \Omega := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : 0 \le z \le h, \; \sqrt{x^2 + y^2} \le \frac{(h - z)^2}{h^2} \; ; h > 0 \right\} \] ipotizzando che sia omogeneo e di massa \(M\).

Per quanto concerne il calcolo del proprio volume, si ha \[ |\Omega| = \int_0^h dz\,\int_{\sqrt{x^2 + y^2} \le \frac{(h - z)^2}{h^2}} dx\,dy = \dots \] mentre per quanto riguarda il calcolo del momento d'inerzia rispetto all'asse \(z\), si ha \[ I_z = \frac{M}{|\Omega|}\int_0^h dz\,\int_{\sqrt{x^2 + y^2} \le \frac{(h - z)^2}{h^2}} \left(x^2 + y^2\right)dx\,dy = \dots \] Notando la simmetria di \(\Omega\) rispetto all'asse \(z\), direi che conviene passare a coordinate cilindriche di asse \(z\).

Ok, ci sono...il problema è come faccio a trovare gli estremi di integrazione nel secondo integrale di \[ |\Omega| = \int_0^h dz\,\int_{\sqrt{x^2 + y^2} \le \frac{(h - z)^2}{h^2}} dx\,dy = \dots \] cioè ho che $ ((h-z)^3)/h^2 $ è il mio raggio quindi integro tra 0 e $ ((h-z)^6)/h^4 $ giusto?

[Sossella1]

Ok, scusa per la citazione
Mi è chiaro tutto; ho sbagliato io a dire che è un cono; quello che mi chiedevano è quella schifezza di figura (ho aggiornato anche il titolo). Ora scrivo il metodo di risoluzione:
$ C={(x,y,z)|z in[0,h], sqrt(x^2+y^2)<=((h-z)^3)/h^2} $
$ int int int_(C)dx dy dz = int_0^h dz int int_(sqrt(x^2+y^2)<=((h-z)^3)/h^2 )dx dy $ passo a coordinate cilindriche con asse z
$ { ( x=rhocosvartheta ),( y=rhosintheta ),( z=t ):} $ con $(rho,theta, t) in R^+ $ , $ rho $ int_(0)^(h)dz int_(0)^((h-z)^3/h^2)rhodrho int_(0)^(2pi) d theta = (pih^3)/7 $
$ I=(7m)/(pi|h^3|)int_(0)^(h)dz int_(0)^((h-z)^3/h^2)rho^3drho int_(0)^(2pi) d theta =(7h^2m)/26 $

Grazie mille TeM