Volume di una porzione di spazio
Salve a tutti!
Dovrei calcolare il volume della porzione di spazio compresa tra la semisfera alta di centro l'origine e raggio 1
e il paraboloide rotondo
$ z = sqrt(2)*(x^2 + y^2) $
Ho messo a sistema le due equazioni
$ { ( x^2 + y^2 + x^2 =1 ),( z = sqrt(2)*(x^2 + y^2 ):} $
la cui soluzione "utile" è $ z = sqrt(2)/2 $
quindi trovo la circonferenza di raggio z che è il domino di integrazione.
ora dovrei, per calcolare il volume della porzione di spazio generata calcolare l'integrale doppio della differenza delle funzioni?
cioè
$ int_(A)^(B)sqrt(2)*(x^2 + y^2) - sqrt(1-x^2 - y^2) dx dy $
Dovrei calcolare il volume della porzione di spazio compresa tra la semisfera alta di centro l'origine e raggio 1
e il paraboloide rotondo
$ z = sqrt(2)*(x^2 + y^2) $
Ho messo a sistema le due equazioni
$ { ( x^2 + y^2 + x^2 =1 ),( z = sqrt(2)*(x^2 + y^2 ):} $
la cui soluzione "utile" è $ z = sqrt(2)/2 $
quindi trovo la circonferenza di raggio z che è il domino di integrazione.
ora dovrei, per calcolare il volume della porzione di spazio generata calcolare l'integrale doppio della differenza delle funzioni?
cioè
$ int_(A)^(B)sqrt(2)*(x^2 + y^2) - sqrt(1-x^2 - y^2) dx dy $
Risposte
L'integrale che fornisce il volume del solido cercato è dato dalla differenza tra il volume della calotta sferica (di cui dovresti conoscere il valore senza calcolare integrali) e quello "dentro" il paraboloide. Pertanto esso è dato da
$$\frac{2\pi}{3}-\int_0^{\sqrt{2}/2}\left(\iint_D \sqrt{2}(x^2+y^2)\ dx\ dy\right)\ dz$$
dove $D$ è il dominio di variazione dei punti $(x,y)$ che corrispondono alla parte interna del paraboloide stesso.
$$\frac{2\pi}{3}-\int_0^{\sqrt{2}/2}\left(\iint_D \sqrt{2}(x^2+y^2)\ dx\ dy\right)\ dz$$
dove $D$ è il dominio di variazione dei punti $(x,y)$ che corrispondono alla parte interna del paraboloide stesso.
Grazie per la risposta.
Due precisazioni se hai tempo:
1) il mio procedimento è giusto? (ho invertito nell'ultimo integrale la differenza delle funzioni)
2)Qual'è il dominio D?
Due precisazioni se hai tempo:
1) il mio procedimento è giusto? (ho invertito nell'ultimo integrale la differenza delle funzioni)
2)Qual'è il dominio D?
Scusa, mi sono reso conto di una cosa sbagliata: stavo pensando al volume come somma delle due e non come differenza e invece te l'ho posto come differenza.
Ricapitoliamo: la tua idea in realtà non è corretta, visto che esegui la differenza come se la calotta parabolica fosse sopra e quella sferica sotto mentre, se immagini la situazione graficamente, dovresti osservare che è il contrario. Per vederlo, ragiona così: se poni $y=0$ puoi vedere le due superfici in sezione, e le loro equazioni risultano $x^2+z^2=1$ e $z=\sqrt{2} x^2$. Il grafico risulta quello di un semicerchio e di una parabola con vertice nell'origine, e come puoi vedere la parabola sta sotto e la circonferenza sopra.
Ora, sempre in questo grafico in sezione, noterai due punti di intersezione che si ottengono intersecando le due curve (quelli che hai già trovato) per cui puoi concludere che il volume può essere calcolato in due modi:
1) calcoli i volumi delle due porzioni di solido divise dal piano di equazione $z=\sqrt{2}/{2}$
2) calcoli il volume della semisfera (che vale $2\pi/3$) e sottrai il volume del solido che si trova "sotto" il paraboloide (e non "dentro", come avevo detto prima). Tale volume si calcola integrando la funzione che fornisce il paraboloide per $z\in[0,\sqrt{2}/2]$ e facendo variare $(x,y)$ nel dominio $D$ che si ottiene proiettando la sezione del paraboloide alla quota $z=\sqrt{2}/{2}$ sul piano $xOy$: tale proiezione è la circonferenza sul piano di centro l'origine e raggio uguale a quello della sezione del paraboloide e si trova sostituendo la coordinata di $z$ nell'equazione del paraboloide, per cui $x^2+y^2=1/2$. Usando quindi questo secondo metodo, che mi sembra più veloce, si ha
$$V=\frac{2\pi}{3}-\int_0^{\sqrt{2}/2}\left(\iint_D \sqrt{2}(x^2+y^2)\ dx\ dy\right)\ dz=$$
usando coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ che permettono di definire il dominio $D$ con le condizioni $\rho\in[0,\frac{1}{\sqrt{2}}],\ \theta\in[0,2\pi]$
$$=\frac{2\pi}{3}-\int_0^{\sqrt{2}/2}\int_0^{1/\sqrt{2}}\int_0^{2\pi} \sqrt{2}\rho^3\ d\theta\ d\rho\ dz=\frac{2\pi}{3}-2\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{1}{16}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{16}=\frac{29\pi}{16}$$
Ricapitoliamo: la tua idea in realtà non è corretta, visto che esegui la differenza come se la calotta parabolica fosse sopra e quella sferica sotto mentre, se immagini la situazione graficamente, dovresti osservare che è il contrario. Per vederlo, ragiona così: se poni $y=0$ puoi vedere le due superfici in sezione, e le loro equazioni risultano $x^2+z^2=1$ e $z=\sqrt{2} x^2$. Il grafico risulta quello di un semicerchio e di una parabola con vertice nell'origine, e come puoi vedere la parabola sta sotto e la circonferenza sopra.
Ora, sempre in questo grafico in sezione, noterai due punti di intersezione che si ottengono intersecando le due curve (quelli che hai già trovato) per cui puoi concludere che il volume può essere calcolato in due modi:
1) calcoli i volumi delle due porzioni di solido divise dal piano di equazione $z=\sqrt{2}/{2}$
2) calcoli il volume della semisfera (che vale $2\pi/3$) e sottrai il volume del solido che si trova "sotto" il paraboloide (e non "dentro", come avevo detto prima). Tale volume si calcola integrando la funzione che fornisce il paraboloide per $z\in[0,\sqrt{2}/2]$ e facendo variare $(x,y)$ nel dominio $D$ che si ottiene proiettando la sezione del paraboloide alla quota $z=\sqrt{2}/{2}$ sul piano $xOy$: tale proiezione è la circonferenza sul piano di centro l'origine e raggio uguale a quello della sezione del paraboloide e si trova sostituendo la coordinata di $z$ nell'equazione del paraboloide, per cui $x^2+y^2=1/2$. Usando quindi questo secondo metodo, che mi sembra più veloce, si ha
$$V=\frac{2\pi}{3}-\int_0^{\sqrt{2}/2}\left(\iint_D \sqrt{2}(x^2+y^2)\ dx\ dy\right)\ dz=$$
usando coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ che permettono di definire il dominio $D$ con le condizioni $\rho\in[0,\frac{1}{\sqrt{2}}],\ \theta\in[0,2\pi]$
$$=\frac{2\pi}{3}-\int_0^{\sqrt{2}/2}\int_0^{1/\sqrt{2}}\int_0^{2\pi} \sqrt{2}\rho^3\ d\theta\ d\rho\ dz=\frac{2\pi}{3}-2\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{1}{16}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{16}=\frac{29\pi}{16}$$
Gentilissimo grazie mille!!
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