Volume di un solito

[manu911]

salve a tutti avrei un esercizio di cui non mi torna il risultato... mi potete dire dove sbaglio?

devo calcolare il volume del solido compreso tra la superficie
$Sigma ={(x,y,z)| x^4+y^4+2x^2y^2-1=-z; z>=0}$
ed il piano $z=0$

io risolvo facendo il cambio di variabili trovando quindi che corrisponde al seguente integrale:

$int_0^1 int_0^(2pi) int_0^(sqrt(-z+1)) drho d theta d z$

$0<=z<=1, 0<=theta<=2pi, 0<=rho<= sqrt(-z+1)$
come risultato mi da $1/2pi$ ma è sbagliato perche deve dare $2/3pi$ mi potete dire dove sbaglio?

[gugo82]

Si tratta di calcolare l'integrale triplo:
\[
\iiint_R \text{d} x \text{d} y \text{d} z\; ,
\]
in cui \(R\) è il solido descritto nel testo; l'errore che commetti è nell'impostazione dell'integrale in coordinate cilindriche, poiché dimentichi per strada lo jacobiano della trasformazione e non individui le giuste limitazioni sulla veriabile \(z\) (in particolare, l'estremo superiore d'integrazione rispetto a \(z\) non può dipendere da \(z\)!).

Tuttavia, puoi semplificare un po' il conto: infatti, dato che \(\Sigma\) è una superficie-grafico, \(R\) è il cilindroide relativo alla funzione:
\[
f(x,y):=1-(x^2+y^2)^2
\]
di base l'insieme \(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ 1-(x^2+y^2)^2\geq 0\} = \overline{B}(\mathbf{0}; 1)\) (cerchio chiuso di centro l'origine e raggio unitario) e dato che \(f\) è positiva in \(\overline{B}(\mathbf{0}; 1)\), hai:
\[
\operatorname{vol} R = \iint_{\overline{B}(\mathbf{0}; 1)} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y
\]
con l'integrale al secondo membro che può essere calcolato in polari.