Volume di un solido di rotazione
Ciao a tutti,
ho questo testo:
calcolare il volume del solido che si ottiene per rotazione di un angolo giro del dominio del piano zy attorno all'asse z
$\D {(x,y) in R^2 : z\leq y, 2z\geqy^2}$
vorrei sapere se così come ho fatto è giusta perchè non ne sono sicura e non ho soluzioni....
intanto so che $0\leqy\leq2$ e che $y\leqz\leq\frac{y^2}{2}$ giusto?perchè ho che $z\leq y$ è la bisettrice e che
$2z\geqy^2$ diventa $z\geq\frac{y^2}{2}$ che è una parabola
quindi ho fatto il doppio integrale utilizzando la formula del volume
$Vol=2\Pi \int\int z dzdy$
$=2\Pi \int_0^2 dy \int_y^\frac{y^2}{2} zdz =$
$=2\Pi \int_0^2 dy \frac {z^2}{2}\|_y^\frac{y^2}{2}=$
$=2\Pi \int_0^2 dy \frac {y^4}{8}-\frac {y^2}{2}=$
$=2\Pi \frac {y^5}{40}-\frac {y^3}{6}|_0^2=$
$=-\frac{16}{15} \Pi $
vi risulta anche a voi?o ho sbagliato?e cosa ho sbagliato?
vi ringrazio moltissimo dell'aiuto
ho questo testo:
calcolare il volume del solido che si ottiene per rotazione di un angolo giro del dominio del piano zy attorno all'asse z
$\D {(x,y) in R^2 : z\leq y, 2z\geqy^2}$
vorrei sapere se così come ho fatto è giusta perchè non ne sono sicura e non ho soluzioni....
intanto so che $0\leqy\leq2$ e che $y\leqz\leq\frac{y^2}{2}$ giusto?perchè ho che $z\leq y$ è la bisettrice e che
$2z\geqy^2$ diventa $z\geq\frac{y^2}{2}$ che è una parabola
quindi ho fatto il doppio integrale utilizzando la formula del volume
$Vol=2\Pi \int\int z dzdy$
$=2\Pi \int_0^2 dy \int_y^\frac{y^2}{2} zdz =$
$=2\Pi \int_0^2 dy \frac {z^2}{2}\|_y^\frac{y^2}{2}=$
$=2\Pi \int_0^2 dy \frac {y^4}{8}-\frac {y^2}{2}=$
$=2\Pi \frac {y^5}{40}-\frac {y^3}{6}|_0^2=$
$=-\frac{16}{15} \Pi $
vi risulta anche a voi?o ho sbagliato?e cosa ho sbagliato?
vi ringrazio moltissimo dell'aiuto
Risposte
"rori":
Ciao a tutti,
ho questo testo:
calcolare il volume del solido che si ottiene per rotazione di un angolo giro del dominio del piano zy attorno all'asse z
$\D {(x,y) in R^2 : z\leq y, 2z\geqy^2}$
vorrei sapere se così come ho fatto è giusta perchè non ne sono sicura e non ho soluzioni....
intanto so che $0\leqy\leq2$ e che $y\leqz\leq\frac{y^2}{2}$ giusto?perchè ho che $z\leq y$ è la bisettrice e che
$2z\geqy^2$ diventa $z\geq\frac{y^2}{2}$ che è una parabola
quindi ho fatto il doppio integrale utilizzando la formula del volume
$Vol=2\Pi \int\int z dzdy$
Ciao rori, vorrei ragionare insieme a te: non ho le conoscenze adatte per correggerti.
Alcune cose: $z<=y$ non mi sembra una retta (bisettrice), ma il semipiano delimitato dalla bisettrice, $z>=1/2y^2$ non mi sembra una parabola ma la porzione di piano interna alla parabola; se faccio l'intersezione fra queste due porzioni di piano che cosa si ottiene? Inotre quale è la foruma per calcolare il volume del cilindro di raggio r e altezza h?
Bé, un errore lampante è che ti venga un volume negatiovo, per cui c'è sicuramente qualcosa che non va. Non ho ben capito: che formula usi? Se stai calcolando il volume di un solido di rotazione, puoi tranquillamente usare un solo integrale (anziché uno doppio). Tra l'altro: hai fatto un disegno del dominio $D$ nel piano $zOy$? Dovresti osservare che la figura da far ruotare si ottiene come differenza tra l'interno di una parabola e un settore del piano delimitato dalla retta $z=y$: è una specie di settore parabolico di vertici $O(0,0),\ A(2,2)$.
EDIT: risposto insieme a gio! Ma non si può mettere un coso che avvisa quando qualcun altro sta scrivendo?
EDIT: risposto insieme a gio! Ma non si può mettere un coso che avvisa quando qualcun altro sta scrivendo?
"ciampax":
EDIT: risposto insieme a gio! Ma non si può mettere un coso che avvisa quando qualcun altro sta scrivendo?
Perchè? E' bello discutere in tanti, poi il tuo intervento mi fa molto piacere (a volte prendo dei granchi micidiali e il fatto che ci sia qualcun altro a seguire l'esercizio mi solleva).
"ciampax":
Dovresti osservare che la figura da far ruotare si ottiene come differenza tra l'interno di una parabola e un settore del piano delimitato dalla retta $z=y$: è una specie di settore parabolico di vertici $O(0,0),\ A(2,2)$.
credo che il termine corretto sia segmento
No, è settore: io intendevo la superficie. Il segmento è una porzione della curva.
ho considerato parabola e bisettrice nel piano yz perchè è ovvio che il volume è di un solido, e mi sono fatta il disegno sul piano yz come se stessi studiando l'insieme di definizione, e il volume poi dovrebbe essere quell'area dove è definito il dominio fatta ruotare attorno all'asse z e quindi ottengo il solido.
Il fatto che venga meno è che forze probabilmente almeno intanto la z doveva essere inclusa da $\frac{y^2}{2}\leq y\leq y$ e infatti andandola a risvolgere così mi da segno positivo..
la formula della definizione del volume di un solido di rotazione nel piano xy attorno alla x sarebbe:
Vol=2Π∫∫xdxdy
quindi intanto secondo voi è corretto come ho modificato la formula, quando l'ho applicata, considerando che sono sul piano yz e ruoto attorno all'asse z?
Il fatto che venga meno è che forze probabilmente almeno intanto la z doveva essere inclusa da $\frac{y^2}{2}\leq y\leq y$ e infatti andandola a risvolgere così mi da segno positivo..
la formula della definizione del volume di un solido di rotazione nel piano xy attorno alla x sarebbe:
Vol=2Π∫∫xdxdy
quindi intanto secondo voi è corretto come ho modificato la formula, quando l'ho applicata, considerando che sono sul piano yz e ruoto attorno all'asse z?
mi viene praticamente una specie di lunetta che è compresa tra $z=y$ e la parabola $z=\frac{y^2 }{2}$
"gio73":
quale è la foruma per calcolare il volume del cilindro di raggio r e altezza h?
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