Volume di un solido
Buonasera a tutti, parto con il dire che non voglio scrivere o ricevere da voi i conti per questo esercizio, mi basta avere delle conferme e/o linee guida.
Partiamo dal principio, la consegna è questa:
Solido in $R^3$ contenente il punto $(0,3/2,0)$ delimitato dalle seguenti superfici $S={x^2/4+z^2/16+y=1}$ e $T={4x^2+4y^2+z^2=16}$. Di tale solido mi è richiesto come primo punto il disegno ed il volume.
Ora $T$ è un ellissoide limitato, al contrario di $S$ che risulta più complicato ma se avete un minimo di praticità è disegnabile. Metterli assieme sullo stesso piano tridimensionale non è banale, si nota però che in $y=0$ le due superfici coincidono. Dalla mia interpretazione del testo, deduco che il solido cercato è quello interno a tutte e due le superfici!
E qui iniziamo con le mie ipotesi, intuitivamente mi viene da pensare che per $y>0$ il solido coincida con $S$ e che per $y<0$ coincida con $T$. Se così fosse, per calcolarne il volume, avrei pensato banalmente di calcolarmi quello di $T$ e dividerlo a metà, in quanto la condizione $y<0$ mi separa $T$ in due parti simmetriche. Per quanto riguarda il volume della porzione di $S$ limitato a $y>0$, pensavo di integrarlo per fili, nello specifico l'integrale su $D={x^2/4+z^2/16<=1}$ di $f(x,z)=1-(x^2/4+z^2/16)$.
Se sono stato abbastanza chiaro in quello che ho scritto, pensate che possa andare bene come procedimento?
Grazie per le eventuali risposte e dritte!
Partiamo dal principio, la consegna è questa:
Solido in $R^3$ contenente il punto $(0,3/2,0)$ delimitato dalle seguenti superfici $S={x^2/4+z^2/16+y=1}$ e $T={4x^2+4y^2+z^2=16}$. Di tale solido mi è richiesto come primo punto il disegno ed il volume.
Ora $T$ è un ellissoide limitato, al contrario di $S$ che risulta più complicato ma se avete un minimo di praticità è disegnabile. Metterli assieme sullo stesso piano tridimensionale non è banale, si nota però che in $y=0$ le due superfici coincidono. Dalla mia interpretazione del testo, deduco che il solido cercato è quello interno a tutte e due le superfici!
E qui iniziamo con le mie ipotesi, intuitivamente mi viene da pensare che per $y>0$ il solido coincida con $S$ e che per $y<0$ coincida con $T$. Se così fosse, per calcolarne il volume, avrei pensato banalmente di calcolarmi quello di $T$ e dividerlo a metà, in quanto la condizione $y<0$ mi separa $T$ in due parti simmetriche. Per quanto riguarda il volume della porzione di $S$ limitato a $y>0$, pensavo di integrarlo per fili, nello specifico l'integrale su $D={x^2/4+z^2/16<=1}$ di $f(x,z)=1-(x^2/4+z^2/16)$.
Se sono stato abbastanza chiaro in quello che ho scritto, pensate che possa andare bene come procedimento?
Grazie per le eventuali risposte e dritte!
Risposte
Mi sembra (ma non ci metto una mano sul fuoco) che il solido in questione sia
\[
K := \left\{(x,y,z):\ 1- \frac{x^2}{4} - \frac{z^2}{16} \leq y \leq 2 \sqrt{1- \frac{x^2}{4} - \frac{z^2}{16}}\right\}\,.
\]
Se vuoi puoi calcolarne il volume anche in coordinate "cilindriche" \(x = 2\rho\cos\theta, y = y, z = 4\rho\sin\theta\), con \(\rho \in[0,1]\) e \(\theta \in [0,2\pi)\).
\[
K := \left\{(x,y,z):\ 1- \frac{x^2}{4} - \frac{z^2}{16} \leq y \leq 2 \sqrt{1- \frac{x^2}{4} - \frac{z^2}{16}}\right\}\,.
\]
Se vuoi puoi calcolarne il volume anche in coordinate "cilindriche" \(x = 2\rho\cos\theta, y = y, z = 4\rho\sin\theta\), con \(\rho \in[0,1]\) e \(\theta \in [0,2\pi)\).
Questa sarebbe un'altra interpretazione di come è fatto solido, tu dici che è la parte compresa tra le due e non quella in comune alle due. Ora provo a buttare giù due conti, quello che non mi convince è il tuo dominio di rho, sei sicuro?
edit: in effetti la radice mi impone il rho da te detto, ora continuo con i conti
edit2: finiti i conti i risultati tornano tutti! Grazie mille, ora ho capito cosa intendeva il testo, ci sono più solidi compresi tra le due superfici e mi impone di prendere quello che contiene il punto indicato.
edit: in effetti la radice mi impone il rho da te detto, ora continuo con i conti
edit2: finiti i conti i risultati tornano tutti! Grazie mille, ora ho capito cosa intendeva il testo, ci sono più solidi compresi tra le due superfici e mi impone di prendere quello che contiene il punto indicato.
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