Volume di un guscio sferico!

[vitunurpo]

Ciao
Ho un problema nel calcolare il volume di un guscio sferico. So che sicuramente è un problema banalissimo, ma in geometria tridimensionale non sono un drago e vorrei capire di più a fondo ...
Mi è chiesto di calcolare, al fine di risolvere un problema di fisica, il volume di un guscio sferico. Il problema mi dice di considerare il raggio della terra R=6370km e mi chiede di considerare uno spessore di h=1km verso il sottosuolo, partendo dalla superficie terrestre . In sostanza mi devo calcolare il volume di questo guscio spesso 1km.

Ecco come avevo fatto (evidentemente sbagliando.. e vorrei capire come mai è sbagliato )

$ int_(0)^(2\pi) d\phiint_(0)^(\pi)d\thetaint_(0)^(h) dr $

oppure pensavo di calcolare il volume della sfera esterna e poi di sottrarci quello della sfera esterna...

$ 4/3\piR^3-4/3\pi(R-h)^3 $

In entrambi i modi il risultato viene sbagliato. Evidentemente sbaglio qualcosa nel ragionamento. Sto facendo una gran confusione. Mi potreste aiutare?
Grazie

[vitunurpo]

Grazie mille!!!! sei stato gentilissimo.
Insomma ho sbagliato a trasformare le coordinate ...