Volume di un cilindroide
Dovrei calcolare il volume del cilindroide delimitato dai piani $z=0$ e $z=x$, la cui proiezione sul piano (x,y) nel primo quadrante è data dalle due circonferenze $x^2+y^2=4$ e $x^2+y^2-2y =0$.
Io ho impostato così l'insieme $C={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x^2+y^2 \leq 4, x^2+y^2-2y \leq 0, x \geq 0, y \geq 0, z \leq x}$
Passando in coordinate cilindriche ottengo che
$$\iiint_D \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$$
Da $\rho^2 \leq 4$ ottengo $0 \leq \rho \leq 2$, da $\rho^2-2\rho \sin \theta \leq 0$ ottengo $\rho \leq 2 \sin \theta$ ed anche $\rho \sin \theta \geq 0$ che in realtà mi porta sempre a $\theta \in [0,\pi]$ insieme condizione $y \leq 0$; inoltre $0
$$\iiint_D \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^{2 \sin \theta} \rho \left(\int_0^{\rho cos \theta} \mathrm{d}z \right)\mathrm{d}\rho \right)\mathrm{d}\theta=\frac{2}{3}$$
Il punto è che il risultato corretto è $2$, viene calcolato per differenza di volumi tra il cilindro avente come base la circonferenza di raggio $2$ centrata nell'origine e il cilindro traslato con centro della circonferenza di base $(0,1)$ e raggio $1$.
Vorrei capire dove ho sbagliato in questo metodo, senza calcolarlo per differenza di volumi; temo che il problema sia nella trascrizione in formule dell'insieme $C$.
Io ho impostato così l'insieme $C={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x^2+y^2 \leq 4, x^2+y^2-2y \leq 0, x \geq 0, y \geq 0, z \leq x}$
Passando in coordinate cilindriche ottengo che
$$\iiint_D \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$$
Da $\rho^2 \leq 4$ ottengo $0 \leq \rho \leq 2$, da $\rho^2-2\rho \sin \theta \leq 0$ ottengo $\rho \leq 2 \sin \theta$ ed anche $\rho \sin \theta \geq 0$ che in realtà mi porta sempre a $\theta \in [0,\pi]$ insieme condizione $y \leq 0$; inoltre $0
$$\iiint_D \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^{2 \sin \theta} \rho \left(\int_0^{\rho cos \theta} \mathrm{d}z \right)\mathrm{d}\rho \right)\mathrm{d}\theta=\frac{2}{3}$$
Il punto è che il risultato corretto è $2$, viene calcolato per differenza di volumi tra il cilindro avente come base la circonferenza di raggio $2$ centrata nell'origine e il cilindro traslato con centro della circonferenza di base $(0,1)$ e raggio $1$.
Vorrei capire dove ho sbagliato in questo metodo, senza calcolarlo per differenza di volumi; temo che il problema sia nella trascrizione in formule dell'insieme $C$.
Risposte
Torna tutto ora, grazie TeM!
C'è un modo analitico per determinare con sicurezza l'insieme? Qui in qualche modo si vedeva disegnandolo (cosa che non ho ingenuamente fatto, ti avrei risparmiato del tempo
), in casi più complessi come ci si comporta?
C'è un modo analitico per determinare con sicurezza l'insieme? Qui in qualche modo si vedeva disegnandolo (cosa che non ho ingenuamente fatto, ti avrei risparmiato del tempo
), in casi più complessi come ci si comporta?
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