Volume di un cilindro
Salve a tutti ho un problema con questo esercizio che dice prima di trovare il piano tangente alla superficie $ x^2+y^2-z=0 $ in (1,1,2)
io mi trovo z= 2x+2y-2
successivamente chiede di calcolare il volume della parte di cilindro $ (x-3)^2+(y-3)^2<=1/4 $ compresa tra z=0 e il piano
Io dopo essermi trovato il piano avevo pensato,utilizzando le coordinate cilindriche di risolvere il seguente integrale triplo
$ int_(0)^(2pi)dt int_(0)^(1/2) 2r(cos t -sen t ))dr $
Mi scuso ma non sapevo scrivere ro e theta dove nell'integrale sono rispettivamente r=ro t=theta
vi chiedo solo se il procedimento è giusto
grazie a tutti
io mi trovo z= 2x+2y-2
successivamente chiede di calcolare il volume della parte di cilindro $ (x-3)^2+(y-3)^2<=1/4 $ compresa tra z=0 e il piano
Io dopo essermi trovato il piano avevo pensato,utilizzando le coordinate cilindriche di risolvere il seguente integrale triplo
$ int_(0)^(2pi)dt int_(0)^(1/2) 2r(cos t -sen t ))dr $
Mi scuso ma non sapevo scrivere ro e theta dove nell'integrale sono rispettivamente r=ro t=theta
vi chiedo solo se il procedimento è giusto
grazie a tutti
Risposte
Puoi farlo con un integrale doppio in coordinate polari. L'integrale doppio di una funzione f(x,y) (in un dominio in cui questa è positiva) infatti ti permette di calcolare il volume del cilindroide compreso tra z=0 e z=f(x,y) (cioè i punti $(x,y,z): (x,y) in D ^^ 0<=z<=f(x,y)$ )
Abral ti ringrazio molto per la risposta
quindi il mio ragionamento è sbagliato?
quindi come dici tu dovrei fare l'integrale della funzione $f(x,y)=(x-3)^2+(y-3)^2-1/4$ applicando il passaggio a coordinate polari con
$0<=$Θ$<=2pi$
$0<=$ρ$<=1/2$
quindi il mio ragionamento è sbagliato?
quindi come dici tu dovrei fare l'integrale della funzione $f(x,y)=(x-3)^2+(y-3)^2-1/4$ applicando il passaggio a coordinate polari con
$0<=$Θ$<=2pi$
$0<=$ρ$<=1/2$
No, non devi calcolare l'integrale di quella funzione. Rifletti sul senso geometrico dell'integrale doppio (che è poi quel che ti ha detto abral).
Comunque, prova a scrivere il cilindro come dominio normale. Dopodiché si tratta di integrare la funzione caratteristica. Ovvio che passando in coordinate polari (cilindriche) fai molto prima.
Comunque, prova a scrivere il cilindro come dominio normale. Dopodiché si tratta di integrare la funzione caratteristica. Ovvio che passando in coordinate polari (cilindriche) fai molto prima.
allora se volessi applicare le coordinate cilindriche e vedere questo cilindro come un dominio normale avrei una cosa del genere?
$ T:{(x,y) in D : 0<=z<=-2} $ dove D è la circonferenza di base del cilindro di equazione $x^2+y^2-3x-3y=1/4$ raggio $1/2$
vi ringrazio per l'aiuto!
$ T:{(x,y) in D : 0<=z<=-2} $ dove D è la circonferenza di base del cilindro di equazione $x^2+y^2-3x-3y=1/4$ raggio $1/2$
vi ringrazio per l'aiuto!
"acero":
Abral ti ringrazio molto per la risposta
quindi il mio ragionamento è sbagliato?
quindi come dici tu dovrei fare l'integrale della funzione $f(x,y)=(x-3)^2+(y-3)^2-1/4$ applicando il passaggio a coordinate polari con
$0<=$Θ$<=2pi$
$0<=$ρ$<=1/2$
L'integrale doppio ti permette di calcolare il volume del cilindroide compreso tra $ z=0 $ e $ z=f(x,y) $, quindi se vuoi calcolarti il volume compreso tra il piano di equazione $ z=0 $ e il piano di equazione $ z=2x+2y-2 $, devi calcolare l'integrale doppio della funzione $ f(x,y) = 2x+2y-2 $, esteso al dominio che ti interessa (che nel tuo caso è una circonferenza). Ti trovi?
Comunque si scrive "rho" e "theta": $rho, theta$ (codice \$rho, theta\$).
Grazie ragazzi per l'aiuto e mi scuso per la mia scarsa intuitività ma purtroppo certe volte non afferro al volo xD
allora ho considerato le seguenti coordinate polari per l'equazione della base della circonferenza $(x-3)^2+(y-3)^2=1/4$
$ { ( x= rho cos(theta)+3 ),( y=rho sen(theta) +3 ):} $
con $0<=rho<=1/2$ e $0<=theta<=2pi$
ottenendo l'integrale:
$ int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(1/2)4 rho + 2rho^2( cos theta + sen theta) d rho = 5/2pi $
allora ho considerato le seguenti coordinate polari per l'equazione della base della circonferenza $(x-3)^2+(y-3)^2=1/4$
$ { ( x= rho cos(theta)+3 ),( y=rho sen(theta) +3 ):} $
con $0<=rho<=1/2$ e $0<=theta<=2pi$
ottenendo l'integrale:
$ int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(1/2)4 rho + 2rho^2( cos theta + sen theta) d rho = 5/2pi $
Mi sa che hai sbagliato la sostituzione, controllala meglio. Per il resto mi sembra corretto
Corretto spero che sia giusto xD grazien ancora!!!
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