Volume del cono
Devo trovare la formula generale del volume di un cono a base ellittica di equazione $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, sapendo che l'altezza vale $h$
Innanzi tutto io ho posto $C$ l'insieme di punti che definiscono il cono ed ho detto che il voulume si calcola:
$\int_Cdxdydz$ usando il criterio di riduzione diventa $\int_0^h(\int_Edxdy)dz$ essendo $E:{x^2/a^2+y^2/b^2\le1}$
Ora io qua ho fatto un ragionamento poco rigoroso, ma penso corretto ho detto che l'integrale interno è uguale all'area dell'ellisse che ha come semiassi $a(z),b(z)$ e quindi ho scritto: $\int_0^h(\int_Edxdy)dz=\int_0^h\pi a(z)b(z)dz$.
Poi ho detto che $a(z)=a(1-z/h)$ $b(z)=b(1-z/h)$
Quindi alla fina mi viene:
$ab\pi\int_0^h(1-z/h)^2 dz=ab\pi[z-z^2/h+z^3/{3h^2}]_0^h=1/3ab\pih$
Secondo voi è giusto?
si poteva fare in modo più rigoroso?
Innanzi tutto io ho posto $C$ l'insieme di punti che definiscono il cono ed ho detto che il voulume si calcola:
$\int_Cdxdydz$ usando il criterio di riduzione diventa $\int_0^h(\int_Edxdy)dz$ essendo $E:{x^2/a^2+y^2/b^2\le1}$
Ora io qua ho fatto un ragionamento poco rigoroso, ma penso corretto ho detto che l'integrale interno è uguale all'area dell'ellisse che ha come semiassi $a(z),b(z)$ e quindi ho scritto: $\int_0^h(\int_Edxdy)dz=\int_0^h\pi a(z)b(z)dz$.
Poi ho detto che $a(z)=a(1-z/h)$ $b(z)=b(1-z/h)$
Quindi alla fina mi viene:
$ab\pi\int_0^h(1-z/h)^2 dz=ab\pi[z-z^2/h+z^3/{3h^2}]_0^h=1/3ab\pih$
Secondo voi è giusto?
si poteva fare in modo più rigoroso?
Risposte
Non ho controllato i conti perche' sono di fretta, ma dal punto di vista del rigore il tuo ragionamento e' perfetto!
Quello che volevo dire è se si poteve, invece di ricorrere all'area dell'ellisse, sciogliere ancora l'integrale doppio con il metodo di riduzione..
Certo che si poteva! Ma mi sembra praticamente impossibile arrivare a dimostrare la formula dell'area dell'ellisse seguendo quella strada. Al limite avresti potuto usare il th. della divergenza o similia, ma dal punto di vista logico non sarebbe cambiato nulla visto che la parametrizzazione della frontiera dell'ellisse deriva dalla conoscenza dell'area...
Un po' come dimostrare la formula dell'area del cerchio con gli integrali doppi: passi in polari, ma per farlo devi gia' conoscere l'area del cerchio...
Un po' come dimostrare la formula dell'area del cerchio con gli integrali doppi: passi in polari, ma per farlo devi gia' conoscere l'area del cerchio...
Ma se invece avessi dovuto calcolare il baricentro dell'insieme avrei potuto fare uguale?
Se la densita' e' uniforme ovviamente si.
Effettivamente, se si parla di densità uniforme in un cono retto ellittico l'unica coordinata non negativa del baricentro sarà quella presa sull'asse z.
Ma facciamo invece conto di voler trovare il baricentro del cono ellittico situato nel primo ottante, adesso non si può più ricorrere al mio metodo, perchè non dobbiamo più integrare una costante. giusto?
Ma facciamo invece conto di voler trovare il baricentro del cono ellittico situato nel primo ottante, adesso non si può più ricorrere al mio metodo, perchè non dobbiamo più integrare una costante. giusto?
La coordinata $bar x$ del baricentro di $\Omega$ e' data da:
$ bar x = (\int_\Omega \rho x dx dy dz)/(\int_\Omega \rho dx dy dz) $
Se $\rho=$cost allora:
$ bar x = 1/{V(\Omega)} \int_\Omega x dx dy dz $
Dove $V(S)$ e' il volume di $S$.
L'integrale sotto non dipende dalla posizione di $\Omega$! Quindi puoi semplicemente sostituire la formula del volume di $\Omega$ se questa e' nota.
In oltre nel caso del cono l'integrale al numeratore si risolve banalmente facendo un cambio di coordinate e passando ad un sistema di riferimento che abbia le coordinate $x$ e $y$ del baricentro in $O$. Dopodiche' l'integrale in $z$ si risolve come prima facendo saltar fuori la formula dell'area dell'ellisse....
$ bar x = (\int_\Omega \rho x dx dy dz)/(\int_\Omega \rho dx dy dz) $
Se $\rho=$cost allora:
$ bar x = 1/{V(\Omega)} \int_\Omega x dx dy dz $
Dove $V(S)$ e' il volume di $S$.
L'integrale sotto non dipende dalla posizione di $\Omega$! Quindi puoi semplicemente sostituire la formula del volume di $\Omega$ se questa e' nota.
In oltre nel caso del cono l'integrale al numeratore si risolve banalmente facendo un cambio di coordinate e passando ad un sistema di riferimento che abbia le coordinate $x$ e $y$ del baricentro in $O$. Dopodiche' l'integrale in $z$ si risolve come prima facendo saltar fuori la formula dell'area dell'ellisse....
Ah ecco
molto interessante l'ultima parte sul cambio di variabili, infatti il problema non era sull'integrale al denominatore che ovviamente non dipende da x ma quello al numeratore. Ma ancora non capisco bene come si proceda. Scusami se sono duro...
molto interessante l'ultima parte sul cambio di variabili, infatti il problema non era sull'integrale al denominatore che ovviamente non dipende da x ma quello al numeratore. Ma ancora non capisco bene come si proceda. Scusami se sono duro...
Non e' che 6 duro e' che effettivamente non e' che mi sia spiegato proprio cosi' bene. Quello che volevo dire e' che se hai un insieme $\Omega$ di cui conosci il baricentro nel caso in cui questo sia in una particolare posizione dello spazio (come nel tuo caso) ma che non e' nella posizione standard allora e' facilmente dimostrabile che il nuovo baricentro non e' che quello vecchio traslato.
Ad esempio nel caso dell'ellisse: mettiamo che il cono abbia base posta in $z=0$ e sia con l'asse rivolto come l'asse $z$. Se il centro dell'ellisse di base e' in $(x_0,y_0)$ (si puo' trovare facilmente dall'equazione dell'ellisse senza fare integrali o altro) si pone:
$ ( bar x , bar y ) = ( x , y ) - ( x_0 ,y_0 ) $
E l'integrale doppio, ad esempio in per la coordinata $x$ del baricentro (e' uguale per la $y$) si trasforma di conseguenza:
$ \int_\Omega x dx dy dz = \int_{ bar \Omega } (bar x + x_0) d bar x d bar y d z = \int_{bar Omega} bar x dx dy dz + \int_{bar Omega} x_0 dx dy dz = V(bar Omega) x_0 $
Infatti:
$ \int_{bar Omega} bar x dx dy dz = 0 $
per simmetria. (funzione dispari integrata su un dominio simmetrico rispetto all'asse $bar y = 0$)
Dove $bar \Omega$ e' il cono posizionato con ellisse centrato nell'origine.
Da qui si vede che in realta' non serve fare tutti gli integrali perche' il baricentro ha ovviamente coordinate $ (x_0,y_0) $...
Se poi il cono fosse stato ruotato si rifanno i conti facendo una roto-traslazione (che e' un'altra trasformazione con jacobiano 1).
Non so se sono stato chiaro comunque la morale e': se conosci le proprieta' geometriche delle figure in ballo non e' mai necessario fare integrali perche' e' facile ricondursi alla situazione base nella quale si conosce gia' la posizione del baricentro a priori. A voler essere proprio pignoli si puo' fare il cambio di variabili nell'integrale e mostrare che effettivamente saltano fuori grandezze geometriche note.
Ad esempio nel caso dell'ellisse: mettiamo che il cono abbia base posta in $z=0$ e sia con l'asse rivolto come l'asse $z$. Se il centro dell'ellisse di base e' in $(x_0,y_0)$ (si puo' trovare facilmente dall'equazione dell'ellisse senza fare integrali o altro) si pone:
$ ( bar x , bar y ) = ( x , y ) - ( x_0 ,y_0 ) $
E l'integrale doppio, ad esempio in per la coordinata $x$ del baricentro (e' uguale per la $y$) si trasforma di conseguenza:
$ \int_\Omega x dx dy dz = \int_{ bar \Omega } (bar x + x_0) d bar x d bar y d z = \int_{bar Omega} bar x dx dy dz + \int_{bar Omega} x_0 dx dy dz = V(bar Omega) x_0 $
Infatti:
$ \int_{bar Omega} bar x dx dy dz = 0 $
per simmetria. (funzione dispari integrata su un dominio simmetrico rispetto all'asse $bar y = 0$)
Dove $bar \Omega$ e' il cono posizionato con ellisse centrato nell'origine.
Da qui si vede che in realta' non serve fare tutti gli integrali perche' il baricentro ha ovviamente coordinate $ (x_0,y_0) $...
Se poi il cono fosse stato ruotato si rifanno i conti facendo una roto-traslazione (che e' un'altra trasformazione con jacobiano 1).
Non so se sono stato chiaro comunque la morale e': se conosci le proprieta' geometriche delle figure in ballo non e' mai necessario fare integrali perche' e' facile ricondursi alla situazione base nella quale si conosce gia' la posizione del baricentro a priori. A voler essere proprio pignoli si puo' fare il cambio di variabili nell'integrale e mostrare che effettivamente saltano fuori grandezze geometriche note.
Forse mi sorge un dubbio, io non volevo dire di trovare il baricentro del cono traslato nel primo ottante ma la parte che rimane nel primo ottante del cono originale. Il cono non si sposta ma viene tagliato in quattro praticamente.
Ah in questo caso mi sa che ti tocca fare gli integrali....
Quindi...??
Devi fare l'integrale sul quarto di cono usando le regole classiche di riduzione.
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