Volume del cilindroide problema con l'integrale
Ragazzi devo calcolare il volume del cilindroide di base D relativo alla funzione $f(x,y)=x$
allora l'integrale è $inin int_D x dxdy= int int_{D_1} x dxdy + int int_{D_2} x dxdy$=
$int_0^{pi/4} d\theta int_0^{1/cos\theta} rho^2cos\theta d\rho+int_{pi/4}^{pi/2} d\theta int_1^{1/sen\theta} rho^2cos\theta d\rho$,
ma perkè ha messo $\rho^2cos\theta$ nella prima parte, la conversione in coordinate polari non dovrebbe essere solo $rhocos\theta$?
allora l'integrale è $inin int_D x dxdy= int int_{D_1} x dxdy + int int_{D_2} x dxdy$=
$int_0^{pi/4} d\theta int_0^{1/cos\theta} rho^2cos\theta d\rho+int_{pi/4}^{pi/2} d\theta int_1^{1/sen\theta} rho^2cos\theta d\rho$,
ma perkè ha messo $\rho^2cos\theta$ nella prima parte, la conversione in coordinate polari non dovrebbe essere solo $rhocos\theta$?
Risposte
Ma D cos'è? Se non dici cos'è D non si capisce un caxxo...
Forse ho capito... E' il quadrato di lato 1 con due lati giacenti sugli assi x e y ?
allora adesso vi spiego tutto:
D è il dominio del I° quadrante limitato dalla circonferenza di centro (0,0) e raggio 1e dalle rette x=1 e y=1.
Allora osservando che la rette y=x divide D nei due domini $D_1$ e$D_2$, si ha che le loro limitazioni in coordinate polari sono rispettivamente
$1<=\rho<1/(cos\theta) , 0<=\theta<=(pi/4)$
$1<=\rho<1/(sen\theta) , (pi/4)<=\theta<=(pi/2)$
Adesso vi ho dato tutto, aiutatemi
D è il dominio del I° quadrante limitato dalla circonferenza di centro (0,0) e raggio 1e dalle rette x=1 e y=1.
Allora osservando che la rette y=x divide D nei due domini $D_1$ e$D_2$, si ha che le loro limitazioni in coordinate polari sono rispettivamente
$1<=\rho<1/(cos\theta) , 0<=\theta<=(pi/4)$
$1<=\rho<1/(sen\theta) , (pi/4)<=\theta<=(pi/2)$
Adesso vi ho dato tutto, aiutatemi
Beh questo è un dominio normale rispetto all'asse x, prima di passare a coordinate polari è più facile impostare
l'integrale in coordinate cartesiane, hai:
$int_D x dxdy = int_0^1 x dx int_(sqrt(1-x^2))^1 dy = ...
Il risultato viene $1/6$.
l'integrale in coordinate cartesiane, hai:
$int_D x dxdy = int_0^1 x dx int_(sqrt(1-x^2))^1 dy = ...
Il risultato viene $1/6$.
il risultato è giusto, ma mi potresti spiegare i passaggi successivi.....lo so nn so fare niente 
e poi perkè quando ha messo le coordinate polari le è uscito $rho^2cos\theta$ e non $rhocos\theta$?
e poi perkè quando ha messo le coordinate polari le è uscito $rho^2cos\theta$ e non $rhocos\theta$?
Proseguo i calcoli da dove li avevo lasciati... Hai
$int_0^1 x(1-sqrt(1-x^2)) dx = [x^2/2]_0^1 - int_0^1 xsqrt(1-x^2) dx
Per calcolare l'ultimo integrale, moltiplico e divido per $-2$ e ho:
$int_0^1 xsqrt(1-x^2) dx = -1/2 int_0^1 (-2x) (1-x^2)^(1/2) dx = -1/2 [ ((1-x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) ]_0^1 = -1/2(0-2/3) = 1/3$
Sostituendo nella formula iniziale hai: $1/2 - 1/3 = 1/6$.
$int_0^1 x(1-sqrt(1-x^2)) dx = [x^2/2]_0^1 - int_0^1 xsqrt(1-x^2) dx
Per calcolare l'ultimo integrale, moltiplico e divido per $-2$ e ho:
$int_0^1 xsqrt(1-x^2) dx = -1/2 int_0^1 (-2x) (1-x^2)^(1/2) dx = -1/2 [ ((1-x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) ]_0^1 = -1/2(0-2/3) = 1/3$
Sostituendo nella formula iniziale hai: $1/2 - 1/3 = 1/6$.
"75america":
e poi perkè quando ha messo le coordinate polari le è uscito $rho^2cos\theta$ e non $rhocos\theta$?
Perché $dxdy$ in coordinate polari diventa $rho drho d theta$, inoltre c'e' anche $x=rho cos theta$ da integrare, quindi alla fine
la roba da integrare è $rho cos theta * rho drho d theta = rho^2 costheta drho d theta$
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