Volume da curva parametrica
Ciao a tutti!
Ho una curva in forma parametrica e devo calcolare il volume ottenuto dalla rotazione della curva attorno all'asse x. Io calcolerei l'integrale dell'area sottesa dalla curva moltiplicata per 2 pi, ma non so quali estremi di integrazione devo usare, forse quelli del parametro della curva?
Grazie a tutti!
Ho una curva in forma parametrica e devo calcolare il volume ottenuto dalla rotazione della curva attorno all'asse x. Io calcolerei l'integrale dell'area sottesa dalla curva moltiplicata per 2 pi, ma non so quali estremi di integrazione devo usare, forse quelli del parametro della curva?
Grazie a tutti!
Risposte
No: non puoi
farlo.
Quel volume è uguale all'area sottesa moltiplicata $2\pi$ per la distanza
dall'asse $x$ del centro di area dell'area sottesa (ovvero la coordinata "x" del centro di area).
Oppure:
SE puoi indicare la curva $(x(t),y(t))$ come $y(x)$,
integri tra $x_0$ ed $x_1$ la funzione $\pi[y(x)]^2$, in $"d"x$.
(scusa, non ho tempo ora per parlare più esaurientemente)
farlo.
Quel volume è uguale all'area sottesa moltiplicata $2\pi$ per la distanza
dall'asse $x$ del centro di area dell'area sottesa (ovvero la coordinata "x" del centro di area).
Oppure:
SE puoi indicare la curva $(x(t),y(t))$ come $y(x)$,
integri tra $x_0$ ed $x_1$ la funzione $\pi[y(x)]^2$, in $"d"x$.
(scusa, non ho tempo ora per parlare più esaurientemente)
non riesco a ricavare y(x), devo per forza usare la forma parametrica; quindi, se ho capito bene, devo applicare il teorema di guldino.. Però quali estremi di integrazione devo mettere?
Hm_ in teoria
è l'area della superficie tra la curva e l'asse delle x, moltiplicata
per l'ordinata del centro di massa moltiplicata $2\pi$.
ma puoi evitare il calcolo esplicito dell'area: poichè
l'ordinata del centro di massa è uguale a $1/A\int_Dy$.
Per cui il tuo volume sarà:$V=2\pi\int_Dy$
( quell'integrale è uguale alla circuitazione sul bordo
in verso ORARIO di $1/2y^2"d"x$)
è l'area della superficie tra la curva e l'asse delle x, moltiplicata
per l'ordinata del centro di massa moltiplicata $2\pi$.
ma puoi evitare il calcolo esplicito dell'area: poichè
l'ordinata del centro di massa è uguale a $1/A\int_Dy$.
Per cui il tuo volume sarà:$V=2\pi\int_Dy$
( quell'integrale è uguale alla circuitazione sul bordo
in verso ORARIO di $1/2y^2"d"x$)
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