Volume compreso tra due funzioni
Buonasera ragazzi 
, volevo avere conferma del corretto svolgimento di un integrale doppio.
Il testo recita:
Calcolare il volume della regione racchiusa dal paraboloide $z = x^2 + y^2$ e dal piano di equazione $z = 2x − 4y$.
Svolgimento (secondo me):
Devo calcolare il volume della regione compresa tra il paraboloide e il piano. Quindi metto a sistema le due equazione e ottengo:
$
x^2+y^2+4y-2x=0
$
dove raccogliendo:
$
(x-1)^2+(y+2)^2-5=0
$
quindi il cerchio e' centrato in $(1;-2)$. Ora per risolvere l'integrale passo alle coordinate polari:
$
x=\rho cos \theta + 1
$
$
y=\rho sin\theta -2
$
dove $theta = [0,2\pi)$ e $ 0 \leq \rho \leq \sqrt{5}$ e sostituendo ottengo
$
\rho^2-5=5
$
Infine calcolo l'integrale:
$
\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{5}} \rho(\rho^2-5) d\rho = 2\pi [\frac{\rho^4}{4}-\frac{\rho^2}{2}]_0^{\sqrt{5}} = -\frac{25 \pi}{2}
$
dove per calcolare ho utilizzato il th. di riduzione.
Fine.
Nello svolgimento ho volutamente seguito un approccio meccanico (questo per prendere domestichezza).
Ringrazio in anticipo chiunque risponda, sono accettate critiche e/o consigli.
, volevo avere conferma del corretto svolgimento di un integrale doppio.Il testo recita:
Calcolare il volume della regione racchiusa dal paraboloide $z = x^2 + y^2$ e dal piano di equazione $z = 2x − 4y$.
Svolgimento (secondo me):
Devo calcolare il volume della regione compresa tra il paraboloide e il piano. Quindi metto a sistema le due equazione e ottengo:
$
x^2+y^2+4y-2x=0
$
dove raccogliendo:
$
(x-1)^2+(y+2)^2-5=0
$
quindi il cerchio e' centrato in $(1;-2)$. Ora per risolvere l'integrale passo alle coordinate polari:
$
x=\rho cos \theta + 1
$
$
y=\rho sin\theta -2
$
dove $theta = [0,2\pi)$ e $ 0 \leq \rho \leq \sqrt{5}$ e sostituendo ottengo
$
\rho^2-5=5
$
Infine calcolo l'integrale:
$
\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{5}} \rho(\rho^2-5) d\rho = 2\pi [\frac{\rho^4}{4}-\frac{\rho^2}{2}]_0^{\sqrt{5}} = -\frac{25 \pi}{2}
$
dove per calcolare ho utilizzato il th. di riduzione.
Fine.
Nello svolgimento ho volutamente seguito un approccio meccanico (questo per prendere domestichezza).
Ringrazio in anticipo chiunque risponda, sono accettate critiche e/o consigli.
Risposte
Facciamo un gioco: tutti i calcoli sono corretti, hai usato la parametrizzazione corretta, non hai dimenticato nulla; insomma l'approccio meccanico è ok.
Ci sono solo due problemi nella risoluzione:
- a che serve l'equazione $\rho^2-5=5$? Suppongo sia un refuso, il tuo intento era quello di esprimere l'integranda in coordinate polari, che dallo svolgimento non si capisce quale sia;
- la negatività del volume suggerisce che c'è qualcosa che non va, non credi?
Dal tuo nickname deduco che studi Fisica, ecco perché mi permetto di consigliarti un approccio più "consapevole" e meno meccanico: il lavoro del fisico consiste anche e soprattutto nell'interpretare correttamente i risultati che scaturiscono dallo studio di un fenomeno, abituati a farlo.
Ci sono solo due problemi nella risoluzione:
- a che serve l'equazione $\rho^2-5=5$? Suppongo sia un refuso, il tuo intento era quello di esprimere l'integranda in coordinate polari, che dallo svolgimento non si capisce quale sia;
- la negatività del volume suggerisce che c'è qualcosa che non va, non credi?
Dal tuo nickname deduco che studi Fisica, ecco perché mi permetto di consigliarti un approccio più "consapevole" e meno meccanico: il lavoro del fisico consiste anche e soprattutto nell'interpretare correttamente i risultati che scaturiscono dallo studio di un fenomeno, abituati a farlo.
In sostanza devi calcolare l'area del cerchio $ (x-1)^2+(y+2)^2=5 $
hai fatto bene ad usare le coordinate polari traslate, con anche lo Jacobiano $ Jac=\rho $
l'impostazione dell'integrale è giusta $ \theta \in [0,2\pi], \rho \in[0,\sqrt(5)] $
ma pure io non ho capito perché dentro l'integrale metti $ \rho^2-5 $
l'impostazione dell'integrale è
$ \int_(0)^(2\pi)d\theta \int_(0)^(\sqrt(5)) \rho d\rho=2\pi \int_(0)^(\sqrt(5))\rho d\rho=... $
hai fatto bene ad usare le coordinate polari traslate, con anche lo Jacobiano $ Jac=\rho $
l'impostazione dell'integrale è giusta $ \theta \in [0,2\pi], \rho \in[0,\sqrt(5)] $
ma pure io non ho capito perché dentro l'integrale metti $ \rho^2-5 $
l'impostazione dell'integrale è
$ \int_(0)^(2\pi)d\theta \int_(0)^(\sqrt(5)) \rho d\rho=2\pi \int_(0)^(\sqrt(5))\rho d\rho=... $
Ciao ragazzi,
Mathita apprezzo davvero quello che dici, e sicuramente lo faro', questi sono i primi esercizi in cui mi cimento dopo aver letto/capito la teoria.
21zuclo effettivamente riguardando bene non ha proprio senso quello che ho scritto (anche perche' trattasi di un semplice cerchio traslato).
Grazie ad entrambi per avermi corretto.
Mathita apprezzo davvero quello che dici, e sicuramente lo faro', questi sono i primi esercizi in cui mi cimento dopo aver letto/capito la teoria.
21zuclo effettivamente riguardando bene non ha proprio senso quello che ho scritto (anche perche' trattasi di un semplice cerchio traslato).
Grazie ad entrambi per avermi corretto.
Vorrei sottolineare che il procedimento di fisico8 è corretto: ha solo commesso un piccolo errore dovuto all'imprecisa interpretazione geometrica del problema.
Per calcolare il volume della parte di spazio limitata dal paraboloide $f(x,y)=x^2+y^2$ e il piano $g(x,y)=2x-4y$ è sufficiente calcolare la differenza degli integrali doppi $\int\int_{D}g(x,y)dxdy-\int\int_{D}f(x,y)dx dy$ dove $D$ è la parte di piano limitata dalla circonferenza di equazione $x^2+y^2-2x+4y=0$, ossia:
$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2-2x+4y\le 0\}$
Per le proprietà degli integrali doppi
$\int\int_{D}g(x,y)dxdy-\int\int_{D}f(x,y)dx dy=\int\int_{D}[g(x,y)-f(x,y)]dxdy=\int\int_{D}(2x-4y-x^2-y^2)dxdy$
da cui, procedendo per coordinate polari traslate con centro $(x_0,y_0)=(1, -2)$, otteniamo l'integrale
$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{5}}\rho(5-\rho^2)d\rho=\frac{25\pi}{2}$
La mia "critica" alla risoluzione consiste essenzialmente nel mancato spirito di osservazione: il volume è negativo perché hai considerato come integranda la differenza tra la funzione "che sta sotto" e quella che "sta sopra" (infatti nel dominio di integrazione $D$ i punti del paraboloide hanno quote inferiori rispetto a quelle dei punti del piano), quando bisogna invece fare il contrario.
Per calcolare il volume della parte di spazio limitata dal paraboloide $f(x,y)=x^2+y^2$ e il piano $g(x,y)=2x-4y$ è sufficiente calcolare la differenza degli integrali doppi $\int\int_{D}g(x,y)dxdy-\int\int_{D}f(x,y)dx dy$ dove $D$ è la parte di piano limitata dalla circonferenza di equazione $x^2+y^2-2x+4y=0$, ossia:
$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2-2x+4y\le 0\}$
Per le proprietà degli integrali doppi
$\int\int_{D}g(x,y)dxdy-\int\int_{D}f(x,y)dx dy=\int\int_{D}[g(x,y)-f(x,y)]dxdy=\int\int_{D}(2x-4y-x^2-y^2)dxdy$
da cui, procedendo per coordinate polari traslate con centro $(x_0,y_0)=(1, -2)$, otteniamo l'integrale
$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{5}}\rho(5-\rho^2)d\rho=\frac{25\pi}{2}$
La mia "critica" alla risoluzione consiste essenzialmente nel mancato spirito di osservazione: il volume è negativo perché hai considerato come integranda la differenza tra la funzione "che sta sotto" e quella che "sta sopra" (infatti nel dominio di integrazione $D$ i punti del paraboloide hanno quote inferiori rispetto a quelle dei punti del piano), quando bisogna invece fare il contrario.
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