Volume
devo calcolare il volume dell'area compresa tra il cono $z=sqrt(x^2+y^2)$ e la palla $x^2+y^2+z^2=1$.
ora l'intersezione tra la palla e il cono
$\{(z=sqrt(x^2+y^2)),(x^2+y^2+z^2=1):}$
ha come soluzione $x=1/sqrt2$
quindi l'integrale dell'area sarà
$\int_{0}^{1/sqrt2}Vol_2(E_z)dz$+$\int_{1/sqrt2}^{1}Vol_2(B_z)dz$
dove $B_z$ è una palla di raggio $p(z)$ con $p(z)^2=(1-z^2)$. quiandi
$\int_{0}^{1/sqrt2}Vol_2(E^z)dz$+$\int_{1/sqrt2}^{1}pi(1-z^2)dz$
il mio problema problema riguarda il primo integrale, perchè $E_z$ è un cerchio di raggio $p(z)=Rz/h$..mentre nelle soluzioni il raggio è solo z e quindi l'integrale diventerebbe:
$\int_{0}^{1/sqrt2}pizdz$+$\int_{1/sqrt2}^{1}pi(1-z^2)dz$
ma secondo me la prima parte qua non è giusta....chi mi sa dare una mano???
ora l'intersezione tra la palla e il cono
$\{(z=sqrt(x^2+y^2)),(x^2+y^2+z^2=1):}$
ha come soluzione $x=1/sqrt2$
quindi l'integrale dell'area sarà
$\int_{0}^{1/sqrt2}Vol_2(E_z)dz$+$\int_{1/sqrt2}^{1}Vol_2(B_z)dz$
dove $B_z$ è una palla di raggio $p(z)$ con $p(z)^2=(1-z^2)$. quiandi
$\int_{0}^{1/sqrt2}Vol_2(E^z)dz$+$\int_{1/sqrt2}^{1}pi(1-z^2)dz$
il mio problema problema riguarda il primo integrale, perchè $E_z$ è un cerchio di raggio $p(z)=Rz/h$..mentre nelle soluzioni il raggio è solo z e quindi l'integrale diventerebbe:
$\int_{0}^{1/sqrt2}pizdz$+$\int_{1/sqrt2}^{1}pi(1-z^2)dz$
ma secondo me la prima parte qua non è giusta....chi mi sa dare una mano???
Risposte
Se passi in coordinate sferiche è tutto più semplice.
Quello che hai è un integrale fatto così:
[tex]\int_{\rho_0}^{\rho_1} \int_{\theta_0}^{\theta_1} \int_{\phi_0}^{\phi_1} (\rho^2 cos \phi) d\phi\ d\theta\ d\rho[/tex]
L'unica cosa che devi mettere tu sono gli estremi di integrazione, che, se hai compreso come funzionano le coordinate sferiche sono semplici anch'essi. Devi cercare di immaginare com'è fatto il soldio, che ha una forma tipo cono gelato (proprio così).
Messi gli estremi, in 5 minuti si risolve.
Quello che hai è un integrale fatto così:
[tex]\int_{\rho_0}^{\rho_1} \int_{\theta_0}^{\theta_1} \int_{\phi_0}^{\phi_1} (\rho^2 cos \phi) d\phi\ d\theta\ d\rho[/tex]
L'unica cosa che devi mettere tu sono gli estremi di integrazione, che, se hai compreso come funzionano le coordinate sferiche sono semplici anch'essi. Devi cercare di immaginare com'è fatto il soldio, che ha una forma tipo cono gelato (proprio così).
Messi gli estremi, in 5 minuti si risolve.
io non ho ancora fatto per bene lo coordinate sferiche...mi interessava solo sapere se il raggio di quella roba li è z oppure no...
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