Vincolo limitato
Nella risoluzione di problemi di massimo e minimo vincolato ho trovato dei vincoli come i seguenti
ora per stabilire che esistono gli estremi devo poter dire che f sia continua (e su questo non ho incontrato problemi erano funzioni di R^n più laboriose che realmente complesse)
e che l'intervallo sia chiuso e limitato
M sorgono dubbi sul fatto che questi vincoli siano effettivamente limitati...trattandosi di vincoli di R^n
$ D:{(x1,x2,... ,xn) x1+x2+... xn leq 1 ; x1,x2,... xn geq 0} $
Ad esempio questo vincolo è corretto dire che in esso valgano le ipotesi di Weierstrass oppure ho dimenticato qualcosa?
ora per stabilire che esistono gli estremi devo poter dire che f sia continua (e su questo non ho incontrato problemi erano funzioni di R^n più laboriose che realmente complesse)
e che l'intervallo sia chiuso e limitato
M sorgono dubbi sul fatto che questi vincoli siano effettivamente limitati...trattandosi di vincoli di R^n
$ D:{(x1,x2,... ,xn) x1+x2+... xn leq 1 ; x1,x2,... xn geq 0} $
Ad esempio questo vincolo è corretto dire che in esso valgano le ipotesi di Weierstrass oppure ho dimenticato qualcosa?
Risposte
E' corretto, si. Perché? Sapresti argomentare al riguardo? Prova a disegnare $D$ nel caso semplice $D \subset RR^2$.
Beh nel caso di R^2 è semplice prendo il primo quadrante la parte che si trova al di sotto della retta parallela alla bisettrice II-IV con ordinata all'origine 1
infatti nei casi "disegnabili" ero certa, ma non ero sicura se per caso trasferendo il problema in R^n non sorgessero ulteriori condizioni da tener presente.
A questo punto è chiaro.L'intervallo è chiuso e limitato, la funzione è continua quindi non ho problemi ad applicare il teorema di Weierstrass
Grazie per la precisazione
infatti nei casi "disegnabili" ero certa, ma non ero sicura se per caso trasferendo il problema in R^n non sorgessero ulteriori condizioni da tener presente.
A questo punto è chiaro.L'intervallo è chiuso e limitato, la funzione è continua quindi non ho problemi ad applicare il teorema di Weierstrass
Grazie per la precisazione
Si ma non è un "intervallo". Semmai puoi parlare di "dominio" (=chiusura di un aperto) di $RR^n$; per applicare il teorema di Weierstrass occorre che sia chiuso e limitato. $D$ lo è; sapresti dire perché?
Intuitivamente è chiarissimo, non saprei spiegarlo se è questo che intendi..
o forse non ho capito bene cosa intendi..
o forse non ho capito bene cosa intendi..
Scommettiamo che non sai la (una) definizione di insieme limitato?
Beh si..
posso dire che esiste una n-sfera che lo contiene, che ha maggioranti e minoranti ecc..
IL mio vincolo in ogni caso rispetta queste definizioni. Forse non ho capito bene io dove volete andare a parare..
posso dire che esiste una n-sfera che lo contiene, che ha maggioranti e minoranti ecc..
IL mio vincolo in ogni caso rispetta queste definizioni. Forse non ho capito bene io dove volete andare a parare..
"Lali":ok
Beh si..
posso dire che esiste una n-sfera che lo contiene
"Lali":?
che ha maggioranti e minoranti ecc..
"Lali":Io non voglio andare a parare da nessuna parte. Mi domandavo come mai fosse così "difficile" per te garantire la limitatezza nell'esempio che hai fornito.
IL mio vincolo in ogni caso rispetta queste definizioni. Forse non ho capito bene io dove volete andare a parare..
Io farei così. Spero siamo d'accordo che CNS affinché $A \subseteq RR^n$ sia contenuto in una $n$- sfera è che esista un ipercubo che contiene $A$.
Ipercubo è un insieme del tipo: ${x \in RR^n : |x_i| \le a \ per \ ogni \ i}$ Dove $a$ è un numero maggiore o uguale a zero e $x$ = $(x_1,...,x_n)$.
Allora, dato che nel tuo caso sai già che $x_i \ge 0$ per ogni $i$, resta solo da provare che $x_i \le 1$ per ogni $i$ (scelgo $a = 1$).
Per assurdo: se una coordinata fosse maggiore strettamente di $1$, verrebbe violata la condizione che la somma delle coordinate è minore o ugiuale di $1$, visto che le altre coordinate che vado ad aggiungere sono maggiori o uguali a zero.
Quindi l'insieme dato (il simplesso di $RR^n$) è limitato perché contenuto in un ipercupo di semi-lato pari a $1$.
Ok, perfetto!
Si per me era chiaro questo ragionamento, non l'avevo esplicitato ulteriormente perchè non capivo se fosse ciò a cui vi riferivate.
Non è che trovassi particolari difficoltà è che negli esempi di n variabili temevo di aver dimenticato qualche eccezione o sottigliezza che richiedeva ulteriore "lavoro".
Grazie comunque per la spiegazione completa, riassume perfettamente quello che è stato il mio ragionamento e mi fa piacere vedere che era corretto.
Si per me era chiaro questo ragionamento, non l'avevo esplicitato ulteriormente perchè non capivo se fosse ciò a cui vi riferivate.
Non è che trovassi particolari difficoltà è che negli esempi di n variabili temevo di aver dimenticato qualche eccezione o sottigliezza che richiedeva ulteriore "lavoro".
Grazie comunque per la spiegazione completa, riassume perfettamente quello che è stato il mio ragionamento e mi fa piacere vedere che era corretto.
E perché $D$ è chiuso?
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