Vincoli di uguaglianza e disuguaglianza
Buonasera, ho davvero bisogno di porre una questione in merito all'oggetto della discussione, con tanto di esempio per chiarire cosa intendo.
Come devo agire quando mi trovo ad avere a che fare con una funzione $f(x, y, z)$ tale per cui i vincoli siano misti (uguaglianza e disuguaglianza)? Diciamo tipo
$$ \begin{cases} g(x, y, z) \leq 0 \\\\ h(x, y, z) = 0\end{cases}$$
Ho in particolar modo due domande:
1) Dato che ho vincoli misti, devo comunque studiare i punti interni col gradiente oppure no?
2) Se passo all'uso dei moltiplicatori di Lagrange, diciamo che riesco a costruire la Lagrangiana
$$L(x, y, z, \lambda, \mu) = f(x, y, z) - \lambda g(x, y, z) - \mu h(x, y, z)$$
Allora ok, so come procedere.
Però: diciamo che riesco a ridurre un po' le cose, ma che non sia possibile andare oltre ad una riduzione del problema alle due dimension, ottenendo quindi $f(x, y)$. Come devo procedere dopo? Computo il gradiente e studio i punti critici, dopodiché uso i vincoli per trovare, diciamo, $z$ e poi valuto la $f$ originale trovando max e min, oppure procdo con la Hessiana, e catalogo subito i punti trovati?
PONGO QUI UN ESEMPIO.
Diciamo di avere
$$f(x, y, z) = xyz$$
Soggetta a
$$\begin{cases} x^2+y^2+z^2 \leq 1 \\\\ x+y+z = 1 \end{cases}$$
Quindi una sfera e un piano che si intersecano in una circonferenza.
PUNTI INTERNI
$$\nabla f(x, y, z) = (0, 0, 0)$$ restituisce
$$(x, 0, 0) \qquad \qquad (0, y, 0) \qquad \qquad (0, 0, z)$$
Quindi sugli assi. E allora in virtù della domanda 1) che faccio? Va bene o è un passaggio da non fare?
In tutti tali punti la funzione vale comunque zero.
Andiamo avanti:
$$L(x, y, z, \lambda, \mu) = xyz - \lambda(x^2+y^2+z^2-1) - \mu(x+y+z-1)$$
Da cui si ottiene
$$
\begin{cases}
yz = 2\lambda x + \mu \\
xz = 2\lambda y + \mu \\
xy = 2\lambda z + \mu \\
\text{i due vincoli}
\end{cases}
$$
Posso risolvere per $\mu$:
$$\mu = zy - 2\lambda x$$ e sostituendo nella seconda:
$$\lambda = \frac{-z}{2}$$
E mettendo nella terza:
$$xy = -z^2 + zy + zx$$
Usando il secondo vincolo per $z \to z = 1-x-y$ si ottiene
$$f(x, y) = 2x^2+ 2y^2-3x-3y+xy +1$$
A questo punto, se procedo col gradiente: $\nabla f(x, y) = (0, 0)$ ho:
$$x = 0 \qquad \qquad y = 0$$
$$x = \frac{3}{5} \qquad \qquad y = \frac{3}{5}$$
Ed ora, in virtù della domanda 2): uso questi punti per trovare $z$ e poi valuto $f$ su questi punti, oppure procedo con la Hessiana?
* Bonus: ho sbagliato qualcosa? Manca qualcosa?
Grazie davvero!!
Come devo agire quando mi trovo ad avere a che fare con una funzione $f(x, y, z)$ tale per cui i vincoli siano misti (uguaglianza e disuguaglianza)? Diciamo tipo
$$ \begin{cases} g(x, y, z) \leq 0 \\\\ h(x, y, z) = 0\end{cases}$$
Ho in particolar modo due domande:
1) Dato che ho vincoli misti, devo comunque studiare i punti interni col gradiente oppure no?
2) Se passo all'uso dei moltiplicatori di Lagrange, diciamo che riesco a costruire la Lagrangiana
$$L(x, y, z, \lambda, \mu) = f(x, y, z) - \lambda g(x, y, z) - \mu h(x, y, z)$$
Allora ok, so come procedere.
Però: diciamo che riesco a ridurre un po' le cose, ma che non sia possibile andare oltre ad una riduzione del problema alle due dimension, ottenendo quindi $f(x, y)$. Come devo procedere dopo? Computo il gradiente e studio i punti critici, dopodiché uso i vincoli per trovare, diciamo, $z$ e poi valuto la $f$ originale trovando max e min, oppure procdo con la Hessiana, e catalogo subito i punti trovati?
PONGO QUI UN ESEMPIO.
Diciamo di avere
$$f(x, y, z) = xyz$$
Soggetta a
$$\begin{cases} x^2+y^2+z^2 \leq 1 \\\\ x+y+z = 1 \end{cases}$$
Quindi una sfera e un piano che si intersecano in una circonferenza.
PUNTI INTERNI
$$\nabla f(x, y, z) = (0, 0, 0)$$ restituisce
$$(x, 0, 0) \qquad \qquad (0, y, 0) \qquad \qquad (0, 0, z)$$
Quindi sugli assi. E allora in virtù della domanda 1) che faccio? Va bene o è un passaggio da non fare?
In tutti tali punti la funzione vale comunque zero.
Andiamo avanti:
$$L(x, y, z, \lambda, \mu) = xyz - \lambda(x^2+y^2+z^2-1) - \mu(x+y+z-1)$$
Da cui si ottiene
$$
\begin{cases}
yz = 2\lambda x + \mu \\
xz = 2\lambda y + \mu \\
xy = 2\lambda z + \mu \\
\text{i due vincoli}
\end{cases}
$$
Posso risolvere per $\mu$:
$$\mu = zy - 2\lambda x$$ e sostituendo nella seconda:
$$\lambda = \frac{-z}{2}$$
E mettendo nella terza:
$$xy = -z^2 + zy + zx$$
Usando il secondo vincolo per $z \to z = 1-x-y$ si ottiene
$$f(x, y) = 2x^2+ 2y^2-3x-3y+xy +1$$
A questo punto, se procedo col gradiente: $\nabla f(x, y) = (0, 0)$ ho:
$$x = 0 \qquad \qquad y = 0$$
$$x = \frac{3}{5} \qquad \qquad y = \frac{3}{5}$$
Ed ora, in virtù della domanda 2): uso questi punti per trovare $z$ e poi valuto $f$ su questi punti, oppure procedo con la Hessiana?
* Bonus: ho sbagliato qualcosa? Manca qualcosa?
Grazie davvero!!
Risposte
Ovvio che c'è qualcosa che non va... L'insieme su cui cerchi gli estremi non è un aperto di $RR^3$ (perché è ottenuto come sezione della palla unitaria con un piano, sicché è un cerchio disegnato su tale piano e non ha punti interni), quindi puoi utilizzare il gradiente per trovare i punti critici? Ha senso?
Hai ragione, ora infatti mi torna bene. Ma questa parte era la più sempliciotta per dire.
Continuo ad essere incastrato nella seconda parte. Ho capito che ho vincoli misti e quindi devo impsotare le Juhn Tucker, ma non riesco a risolverne una parte. Stando alle condizioni, l'impostazione totale diviene
$$\begin{cases}
x^2+y^2+z^2 -1 \leq 0 \\
x+y+z-1 = 0 \\
\lambda(x^2+y^2+z^2-1) = 0 \\
\lambda \geq 0 \\
\nabla L = 0
\end{cases}
$$
L'ultima di queste a sua volta diviene, dopo aver costruito la Lagrangiana
$$L(x, y, z, \lambda, \mu) = xyz - \lambda(x^2+y^2+z^2-1) -\mu(x+y+z-1) $$
$$\begin{cases}
yz - 2\lambda x-\mu = 0 \\
xz - 2\lambda y - \mu =0 \\
xy - 2\lambda z - \mu = 0
\end{cases}
$$
Nel caso $\lambda = 0$ risolvo facile ottenendo il punto $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$ che ipotizzo essere il max assoluto (ma devo verificarlo).
Nel caso $\lambda \neq 0$ allora risolvendo e sistemando arrivo a $\lambda = -\frac{z}{2}$ il che implica $z \leq 0$
Continuando coi vincoli per aiutarsi, arrivo a
$$z^2 - z(x+y) + xy = 0$$
che non so risolvere. Anche aiutandomi ancora con l'altro vincolo, l'unica riduzione utile è stata
$$3xy - x - y+1 = 0$$
che non posso risolvere univocamente. Che faccio? Se la studio mediante il gradiente, ottengo risultai che sono uguali al punto trovato sopra.
Mathematica dice che tale funzione si minimizza su $\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}$ (e altri due punti che però devo escludere perché sono simili ma $z$ è positivo).
Boooooh
Continuo ad essere incastrato nella seconda parte. Ho capito che ho vincoli misti e quindi devo impsotare le Juhn Tucker, ma non riesco a risolverne una parte. Stando alle condizioni, l'impostazione totale diviene
$$\begin{cases}
x^2+y^2+z^2 -1 \leq 0 \\
x+y+z-1 = 0 \\
\lambda(x^2+y^2+z^2-1) = 0 \\
\lambda \geq 0 \\
\nabla L = 0
\end{cases}
$$
L'ultima di queste a sua volta diviene, dopo aver costruito la Lagrangiana
$$L(x, y, z, \lambda, \mu) = xyz - \lambda(x^2+y^2+z^2-1) -\mu(x+y+z-1) $$
$$\begin{cases}
yz - 2\lambda x-\mu = 0 \\
xz - 2\lambda y - \mu =0 \\
xy - 2\lambda z - \mu = 0
\end{cases}
$$
Nel caso $\lambda = 0$ risolvo facile ottenendo il punto $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$ che ipotizzo essere il max assoluto (ma devo verificarlo).
Nel caso $\lambda \neq 0$ allora risolvendo e sistemando arrivo a $\lambda = -\frac{z}{2}$ il che implica $z \leq 0$
Continuando coi vincoli per aiutarsi, arrivo a
$$z^2 - z(x+y) + xy = 0$$
che non so risolvere. Anche aiutandomi ancora con l'altro vincolo, l'unica riduzione utile è stata
$$3xy - x - y+1 = 0$$
che non posso risolvere univocamente. Che faccio? Se la studio mediante il gradiente, ottengo risultai che sono uguali al punto trovato sopra.
Mathematica dice che tale funzione si minimizza su $\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}$ (e altri due punti che però devo escludere perché sono simili ma $z$ è positivo).
Boooooh
Provo a suggerirti una soluzione non troppo formale, poi magari qualcuno piu' ferrato in teoria potra' integrare la risposta.
Partiamo da questo sistema e immaginiamo di aver trovato un punto che potrebbe essere un candidato per un estremo.
\[ \begin{cases} yz - 2\lambda x-\mu = 0 \\ xz - 2\lambda y - \mu =0 \\ xy - 2\lambda z - \mu = 0 \end{cases} \]
Avendo gia' un punto candidato, le coordinate $(x,y,z)$ sono fissate e rimaniamo con un sistema da risolvere fatto da 3 equazioni e 2 incognite $(\lambda, \mu)$.
In generale, partendo da un punto qualsiasi, il sistema NON sara' soddisfatto, perche' abbiamo piu' equazioni che incognite. Giusto ?
Un osservazione interessante che potremmo fare sul sistema e' che ' invariante alla permutazione delle coordinate. Ovvero se prendi il sistema e:
al posto di $x$ scrivi $y$
al posto di $y$ scrivi $z$
al posto di $z$ scrivi $x$
vedrai che ottieni lo stesso sistema.
Ovviamente l'ordine delle equazioni non conta.
Quindi il sistema e' dotato di una simmetria, che potremmo sfruttare in modo da ridurre il numero delle equazioni. Riducendo il numero delle equazioni, il sistema diventa risolvibile.
Un modo per fare cio' potrebbe essere imporre $x=y=z$.
In questo modo il sistema diventa un'equazione sola $x^2 - 2\lambda x -\mu = 0$
A questa condizione corrisponde il punto $(1/3, 1/3, 1/3)$ che hai gia' trovato.
Ovviamente questa operazione che abbiamo fatto non ci garantisce che abbiamo trovato un estremo, bisogna sempre verificare i vincoli.
Un secondo modo per ridurre il numero di equazioni puo' essere di imporre $x=y$ e lasciare libera $z$.
In questo modo si giunge al sistema:
${ ( x^2 - \lambda x -\mu = 0 ),( xz - \lambda z -\mu = 0 ):}$
In questo modo abbiamo 2 eq e 2 incognite e quindi il sistema e' sempre risolvibile in generale.
Se torni ai vincoli e imponi le stesse condizioni, trovi il punto che ti indica Mathematica.
$ \frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3} $
Attenzione pero' ad usare questi tools, che vanno usati cum grano salis, perche' invece di imporre $x=y$ potremmo anche imporre $x=z$ e $y=z$. Sempre notando che le equazioni del sistema permutano con le coordinate.
Questo porta ad individuare i 3 punti
$(2/3, 2/3, -1/3)$
$(2/3, -1/3, 2/3)$
$(-1/3, 2/3, 2/3)$
E' tutto.
Partiamo da questo sistema e immaginiamo di aver trovato un punto che potrebbe essere un candidato per un estremo.
\[ \begin{cases} yz - 2\lambda x-\mu = 0 \\ xz - 2\lambda y - \mu =0 \\ xy - 2\lambda z - \mu = 0 \end{cases} \]
Avendo gia' un punto candidato, le coordinate $(x,y,z)$ sono fissate e rimaniamo con un sistema da risolvere fatto da 3 equazioni e 2 incognite $(\lambda, \mu)$.
In generale, partendo da un punto qualsiasi, il sistema NON sara' soddisfatto, perche' abbiamo piu' equazioni che incognite. Giusto ?
Un osservazione interessante che potremmo fare sul sistema e' che ' invariante alla permutazione delle coordinate. Ovvero se prendi il sistema e:
al posto di $x$ scrivi $y$
al posto di $y$ scrivi $z$
al posto di $z$ scrivi $x$
vedrai che ottieni lo stesso sistema.
Ovviamente l'ordine delle equazioni non conta.
Quindi il sistema e' dotato di una simmetria, che potremmo sfruttare in modo da ridurre il numero delle equazioni. Riducendo il numero delle equazioni, il sistema diventa risolvibile.
Un modo per fare cio' potrebbe essere imporre $x=y=z$.
In questo modo il sistema diventa un'equazione sola $x^2 - 2\lambda x -\mu = 0$
A questa condizione corrisponde il punto $(1/3, 1/3, 1/3)$ che hai gia' trovato.
Ovviamente questa operazione che abbiamo fatto non ci garantisce che abbiamo trovato un estremo, bisogna sempre verificare i vincoli.
Un secondo modo per ridurre il numero di equazioni puo' essere di imporre $x=y$ e lasciare libera $z$.
In questo modo si giunge al sistema:
${ ( x^2 - \lambda x -\mu = 0 ),( xz - \lambda z -\mu = 0 ):}$
In questo modo abbiamo 2 eq e 2 incognite e quindi il sistema e' sempre risolvibile in generale.
Se torni ai vincoli e imponi le stesse condizioni, trovi il punto che ti indica Mathematica.
$ \frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3} $
Attenzione pero' ad usare questi tools, che vanno usati cum grano salis, perche' invece di imporre $x=y$ potremmo anche imporre $x=z$ e $y=z$. Sempre notando che le equazioni del sistema permutano con le coordinate.
Questo porta ad individuare i 3 punti
$(2/3, 2/3, -1/3)$
$(2/3, -1/3, 2/3)$
$(-1/3, 2/3, 2/3)$
E' tutto.
Al di là dell'esempio specifico tenderei a distinguere meglio tra vincoli di uguaglianza e di disuguaglianza.
(1) Dapprima considererei tutti i vincoli di uguaglianza, impostando il problema in termini di moltiplicatori di Lagrange (ovvero si considera $L = xyz - lambda(x+y+z-1)$ nell'esempio) oppure si riducono le variabili utilizzando i vincoli (ad es. $z= 1-x-y$ nell'esempio) e determinando i punti critici. A posteriori si verifica che risultino compresi nella regione di ammissibilità, ovvero che soddisfino le condizioni di disuguaglianza, e si escludono tutti i punti al di fuori della regione in questione.
(2) Fatto questo si passa ai punti di frontiera imponendo che i vincoli di disuguaglianza siano di uguaglianza e quindi reimpostando di conseguenza il problema in termini di Lagrange o di riduzione delle variabili.
(3) Esaminando l'insieme delle soluzioni di (1) e (2) si potrà quindi determinare la soluzione del problema.
Tornando all'esempio, il punto $(1/3,1/3,1/3)$ è una soluzione del problema (1) ma non del problema (2) (perchè non soddisfa $x^2+y^2+z^2 =1$), mentre ad es. $(2/3,2/3,-1/3)$ è una soluzione del problema (2) e non del problema (1) (non è un punto critico della prima Lagrangiana).
Ma anche in questo caso l'insieme delle soluzioni di (1) e (2) è alla base della soluzione completa del problema.
(1) Dapprima considererei tutti i vincoli di uguaglianza, impostando il problema in termini di moltiplicatori di Lagrange (ovvero si considera $L = xyz - lambda(x+y+z-1)$ nell'esempio) oppure si riducono le variabili utilizzando i vincoli (ad es. $z= 1-x-y$ nell'esempio) e determinando i punti critici. A posteriori si verifica che risultino compresi nella regione di ammissibilità, ovvero che soddisfino le condizioni di disuguaglianza, e si escludono tutti i punti al di fuori della regione in questione.
(2) Fatto questo si passa ai punti di frontiera imponendo che i vincoli di disuguaglianza siano di uguaglianza e quindi reimpostando di conseguenza il problema in termini di Lagrange o di riduzione delle variabili.
(3) Esaminando l'insieme delle soluzioni di (1) e (2) si potrà quindi determinare la soluzione del problema.
Tornando all'esempio, il punto $(1/3,1/3,1/3)$ è una soluzione del problema (1) ma non del problema (2) (perchè non soddisfa $x^2+y^2+z^2 =1$), mentre ad es. $(2/3,2/3,-1/3)$ è una soluzione del problema (2) e non del problema (1) (non è un punto critico della prima Lagrangiana).
Ma anche in questo caso l'insieme delle soluzioni di (1) e (2) è alla base della soluzione completa del problema.
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