Videocorso ODE
Qualcuno conosce un bel corso abbastanza completo/profondo sulle ODE da poter seguire online, ad esempio su YouTube o simili? Qualcosa c’è ma mi piacerebbe ricevere un consiglio preventivo su quale guardare.
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
Risposte
Grazie!
Prego, spero ti sia utile, io non ho visto nessuna lezione. Se tu ne vedi qualcuna, e se ti va, puoi postare la tua opinione.
Ho visto la prima, dove introduce il teorema di esistenza e unicità senza dimostrarlo.
Scorrendo le descrizioni dei video successivi mi sembra proprio che non lo dimostrerà.
Nelle 'lecture notes' associate neanche c'è una dimostrazione.
Scorrendo le descrizioni dei video successivi mi sembra proprio che non lo dimostrerà.
Nelle 'lecture notes' associate neanche c'è una dimostrazione.
E' un punto di vista un po' diverso da quello standard delle università italiane. Ma non ti fissare troppo col teorema di esistenza e unicità. Si, è importante, ma non così tanto come si crede. Hai letto il piccolo articolo di Gian Carlo Rota sull'insegnamento delle equazioni differenziali? Lo trovi nel link qui.
Me lo leggo, grazie.
Usualmente concordo con Rota… Tuttavia, il punto 5 mi sembra profondamente sbagliato.
Il punto 5, quello sul teorema di esistenza e unicità, è un vero e proprio schiaffo in faccia. Ci ho pensato bene, prima di rendermi conto che Rota ha ragione. Il suo punto di vista è semplice e chiaro: se non si possono fare esempi, non ha senso insegnare un argomento. Si possono fare esempi di equazioni differenziali ordinarie senza soluzioni? No. E allora non ha senso insegnare il teorema di esistenza. Infatti, l'unica cosa veramente importante, che si usa sempre, è il teorema di unicità, non di esistenza.
Nel primo video di quel corso, viene dato un esempio in cui in particolari punti l’esistenza viene meno e in altri l’unicità viene meno.
Comunque, se avete un documento consigliato sul quale studiare questo teorema mi fate contento, visto che non sto seguendo nessun libro ma mi sto affidando alle lezioni del videocorso.
Comunque, se avete un documento consigliato sul quale studiare questo teorema mi fate contento, visto che non sto seguendo nessun libro ma mi sto affidando alle lezioni del videocorso.
Evidentemente quel corso è orientato agli esempi, mi sembra eccellente. Sono sicuro che su questo è d'accordo pure Gugo. Durante il mio dottorato, pensavo spesso che avrei preferito avere imparato più esempi e meno teoria astratta.
Chissà cosa ne pensa Fioravante Patrone, di quell'articolo di Rota. Anche quella è una opinione che mi interesserebbe moltissimo.
@Silent: se posti qui quell'esempio, lo possiamo commentare. Il mio obiettivo principale era comunque quello di non farti perdere la fiducia nel videocorso, solo perché non dimostra il teorema di esistenza e unicità.
Chissà cosa ne pensa Fioravante Patrone, di quell'articolo di Rota. Anche quella è una opinione che mi interesserebbe moltissimo.
@Silent: se posti qui quell'esempio, lo possiamo commentare. Il mio obiettivo principale era comunque quello di non farti perdere la fiducia nel videocorso, solo perché non dimostra il teorema di esistenza e unicità.
E' questa:
\(\displaystyle xy'(x) = y(x)-1 \)
lui la risolve riscrivendola inizialmente così:
\(\displaystyle \frac{y'(x)}{y(x)-1} = \frac{1}{x} \)
che è una equazione che è uguale alla prima solo quando \(\displaystyle x\neq 0 \) e quando \(\displaystyle y(x)-1\neq 0 \).
Considerazione mia #1: mi sembra di notare che, nel caso esista una soluzione definita anche in \(\displaystyle x=0 \), allora è come se già fosse implicitamente definita una condizione iniziale, in quanto si vede dalla prima equazione che deve per forza succedere che: \(\displaystyle y(0)=1 \).
Poi lui prosegue e cerca le primitive di entrambi i membri trovando:
\(\displaystyle \log |y(x)-1| = \log|x| +c \)
da cui:
\(\displaystyle |y(x)-1| = e^c\cdot |x| \)
Per una ragione a me poco chiara, rimuove i valori assoluti e scrive:
\(\displaystyle y(x) = c' \cdot x+1 \)
Considerazione mia #2: la soluzione trovata rimuovendo i valori assoluti, a posteriori si vede che verifica l'equazione di partenza \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \) (verifica anche la condizione iniziale 'implicita' di cui parlavo prima), e quindi va bene. Quello che mi chiedo è come abbia ragionato per togliere a priori i valori assoluti a entrambi i membri. Io avrei analizzato i 4 casi possibili e avrei trovato che due soluzioni sono possibili:
\(\displaystyle y_1(x) = e^cx+1 \)
\(\displaystyle y_2(x)= -e^cx+1 \)
per poi dire che allora entrambe si possono compattare in una unica soluzione generale, definendo una nuova costante \(\displaystyle c' \) che può assumere anche valori negativi:
\(\displaystyle y(x) = c' \cdot x+1 \)
E' giusto ciò che dico?
Ad ogni modo, quelle sono tutte le infinite rette che passano per \(\displaystyle (0,1) \), dunque l'esistenza della soluzione fallisce per i punti lungo l'asse y, eccetto il punto \(\displaystyle (0,1) \) in cui fallisce l'unicità della soluzione.
Domanda: in generale, insieme ad una equazione differenziale da risolvere, va specificato anche in che dominio si vuole trovare la soluzione?
\(\displaystyle xy'(x) = y(x)-1 \)
lui la risolve riscrivendola inizialmente così:
\(\displaystyle \frac{y'(x)}{y(x)-1} = \frac{1}{x} \)
che è una equazione che è uguale alla prima solo quando \(\displaystyle x\neq 0 \) e quando \(\displaystyle y(x)-1\neq 0 \).
Considerazione mia #1: mi sembra di notare che, nel caso esista una soluzione definita anche in \(\displaystyle x=0 \), allora è come se già fosse implicitamente definita una condizione iniziale, in quanto si vede dalla prima equazione che deve per forza succedere che: \(\displaystyle y(0)=1 \).
Poi lui prosegue e cerca le primitive di entrambi i membri trovando:
\(\displaystyle \log |y(x)-1| = \log|x| +c \)
da cui:
\(\displaystyle |y(x)-1| = e^c\cdot |x| \)
Per una ragione a me poco chiara, rimuove i valori assoluti e scrive:
\(\displaystyle y(x) = c' \cdot x+1 \)
Considerazione mia #2: la soluzione trovata rimuovendo i valori assoluti, a posteriori si vede che verifica l'equazione di partenza \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \) (verifica anche la condizione iniziale 'implicita' di cui parlavo prima), e quindi va bene. Quello che mi chiedo è come abbia ragionato per togliere a priori i valori assoluti a entrambi i membri. Io avrei analizzato i 4 casi possibili e avrei trovato che due soluzioni sono possibili:
\(\displaystyle y_1(x) = e^cx+1 \)
\(\displaystyle y_2(x)= -e^cx+1 \)
per poi dire che allora entrambe si possono compattare in una unica soluzione generale, definendo una nuova costante \(\displaystyle c' \) che può assumere anche valori negativi:
\(\displaystyle y(x) = c' \cdot x+1 \)
E' giusto ciò che dico?
Ad ogni modo, quelle sono tutte le infinite rette che passano per \(\displaystyle (0,1) \), dunque l'esistenza della soluzione fallisce per i punti lungo l'asse y, eccetto il punto \(\displaystyle (0,1) \) in cui fallisce l'unicità della soluzione.
Domanda: in generale, insieme ad una equazione differenziale da risolvere, va specificato anche in che dominio si vuole trovare la soluzione?
"dissonance":
Si possono fare esempi di equazioni differenziali ordinarie senza soluzioni? No.
$[y’(x)]^2 + 1 = 0$… Ma questo non sarebbe un buon esempio, secondo Rota.
Oppure $\{ (y’(x) = sqrt(y(x))) ,(y(0) = -1):}$… Ma nemmeno questo sarebbe un buon esempio.
Ad ogni buon conto, il punto è: a chi devo insegnare le equazioni differenziali?
I teoremi di esistenza per (i problemi relativi al)le EDO sono un pretesto per mostrare allo studente come teoremi astratti possano essere applicati per garantire concretamente qualcosa. E, chiaramente, se ciò è poco rilevante per la platea ci si può passare sopra.
Posso permettermi di riproporre?
"Silent":
Domanda: in generale, insieme ad una equazione differenziale da risolvere, va specificato anche in che dominio si vuole trovare la soluzione?
"Silent":
Comunque, se avete un documento consigliato sul quale studiare questo teorema mi fate contento, visto che non sto seguendo nessun libro ma mi sto affidando alle lezioni del videocorso.
"Silent":
Domanda: in generale, insieme ad una equazione differenziale da risolvere, va specificato anche in che dominio si vuole trovare la soluzione?
Che cos’è una EDO?
Il problema è tutto lì.
"Silent":
Comunque, se avete un documento consigliato sul quale studiare questo teorema mi fate contento, visto che non sto seguendo nessun libro ma mi sto affidando alle lezioni del videocorso.
Il teorema di esistenza per il problema di Cauchy, intendi?
Lo trovi dimostrato su quasi tutti i testi di Analisi decenti che trattino di EDO.
"gugo82":
Che cos’è una EDO?
Una equazione che lega una funzione incognita \(\displaystyle y(x) \), di una variabile reale, alle sue derivate.
Quello che volevo dire prima era che, ad esempio, questa equazione:
\(\displaystyle y'(x) = 1/x \)
ha una soluzione differente se specifico come dominio solo \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \), oppure tutto \(\displaystyle \mathbb{R}\setminus \{0\} \).
O mi sbaglio?
"Silent":
[quote="gugo82"]Che cos’è una EDO?
Una equazione che lega una funzione incognita \(\displaystyle y(x) \), di una variabile reale, alle sue derivate.[/quote]
No, neanche nei peggiori bar di Caracas.
Dunque, qual è la definizione corretta?
Non ho un libro a disposizione, come ripeto, mi stavo affidando al corso.
Non ho un libro a disposizione, come ripeto, mi stavo affidando al corso.
Devi avere un testo. Scegline uno e prendilo.
Se vuoi un suggerimento, contattami in PM.
Per il resto, una buona definizione di EDO è la seguente:
Come vedi, l’intervallo di definizione è, in generale, un’incognita del problema.
Se vuoi un suggerimento, contattami in PM.
Per il resto, una buona definizione di EDO è la seguente:
Siano $N in NN$, $Omega sube RR^(N+2)$ un insieme con interno non vuoto ed $F:Omega -> RR$.
Si chiama equazione differenziale ordinaria (in breve, EDO) di ordine $N$ in forma implicita il problema di stabilire se esistono ed, eventualmente, calcolare esplicitamente intervalli $I sube RR$ e funzioni $y:I -> RR$ tali che:
[*:29w39zpi] $I$ ha interno non vuoto,
[/*:m:29w39zpi]
[*:29w39zpi] $y$ è derivabile almeno $N$ volte internamente ad $I$,
[/*:m:29w39zpi]
[*:29w39zpi] per ogni $x in text(int) I$ risulta $F(x,y(x), y’(x), …, y^((N))(x)) = 0$.[/*:m:29w39zpi][/list:u:29w39zpi]
Questo problema si indica sinteticamente col simbolo $F(x,y,y’,…,y^((N)))=0$.
Le funzioni $y(x)$ che soddisfano la EDO si chiamano soluzioni.
Come vedi, l’intervallo di definizione è, in generale, un’incognita del problema.
"Silent":
Non ho un libro a disposizione, come ripeto, mi stavo affidando al corso.
E' molto strano.
Se hai visto e capito il primo video di Mattuck (che è interamente dedicato all'interpretazione geometrica di una EDO di primo grado), ripete spesso e volentieri che le soluzioni formano una famiglia di curve integrali con tanto di raffigurazione in un campo direzionale...
Magari è possibile trovare una primitiva e fra esse sceglierne una in base a dei valori iniziali dati.
Più spesso accade invece che non vi sia una primitiva in termini di funzioni elementari...e resta quindi una funzione integrale..ma che comunque viene "usata" tramite metodi numerici per ottenere risposte per dati valori iniziali e lungo specifici intervalli ammissibili.
Poi la definizione te l'ha data Gugo, ma IMHO è più importante capire quel concetto geometrico.
Anche solo guardando un campo vettoriale, un fisico intuisce quale soluzione otterrà.
E bada bene, se il sistema di equazioni è alle derivate parziali allora anche il campo varia nel tempo!
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