Viceversa teorema permanenza del segno per le funzioni
Salve a tutti,
a breve ho l'esame di Analisi Matematica I... Studiando il teorema della permanenza del segno per le funzioni ho tentato invano di dimostrare il viceversa cioè che: Se una $f(x)>0$ il $lim f(x)>0$ per x->x0 (x con zero). La professoressa suggeriva di procedere per assurdo e di applicare il teorema Ponte... Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo
a breve ho l'esame di Analisi Matematica I... Studiando il teorema della permanenza del segno per le funzioni ho tentato invano di dimostrare il viceversa cioè che: Se una $f(x)>0$ il $lim f(x)>0$ per x->x0 (x con zero). La professoressa suggeriva di procedere per assurdo e di applicare il teorema Ponte... Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
La disuguaglianza che tenti di dimostrare è falsa, come mostra il controesempio di \(f(x):=1/x\) con \(x_0=+\infty\).
In generale vale:
\[
\left. \begin{split} &\text{esiste il } \lim_{x\to x_0} f(x) \text{ e}\\
&\exists I \text{ intorno di } x_0:\ \forall x\in I,\ f(x)>0
\end{split}\right\} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to x_0} f(x)\geq 0\; ,
\]
cosicché passando al limite la disuguaglianza verificata puntualmente intorno a \(x_0\) si indebolisce, cioé da stretta (\(>\)) diventa larga (\(\geq\)). Ed, alquanto ovviamente, la stessa conclusione vale quando si sostituiscono \(<\) e \(\leq\) a \(>\) e \(\geq\) nell'enunciato.
La dimostrazione si fa per assurdo.
Supponi per assurdo che \(\lim_{x\to x_0} f(x)<0\); in tal caso, per la permanenza del segno, esiste un intorno \(J\) di \(x_0\) tale che... Cosa succede, allora, nell'intorno \(I\cup J\) di \(x_0\)?
In generale vale:
\[
\left. \begin{split} &\text{esiste il } \lim_{x\to x_0} f(x) \text{ e}\\
&\exists I \text{ intorno di } x_0:\ \forall x\in I,\ f(x)>0
\end{split}\right\} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to x_0} f(x)\geq 0\; ,
\]
cosicché passando al limite la disuguaglianza verificata puntualmente intorno a \(x_0\) si indebolisce, cioé da stretta (\(>\)) diventa larga (\(\geq\)). Ed, alquanto ovviamente, la stessa conclusione vale quando si sostituiscono \(<\) e \(\leq\) a \(>\) e \(\geq\) nell'enunciato.
La dimostrazione si fa per assurdo.
Supponi per assurdo che \(\lim_{x\to x_0} f(x)<0\); in tal caso, per la permanenza del segno, esiste un intorno \(J\) di \(x_0\) tale che... Cosa succede, allora, nell'intorno \(I\cup J\) di \(x_0\)?
Grazie ma in questo modo l'abbiamo già fatta, la prof ci ha detto di utilizzare il teorema ponte, magari potresti darci una dritta su come fare ?
Ma siamo sempre lì.
Supponi che \(\lim_{x\to x_0} f(x)=l<0\); allora per ogni successione \((x_n)\) tale che \(x_n\to x_0\) hai \(\lim_n f(x_n)=l<0\); per il teorema sulla permanenza del segno per le successioni allora risulta \(f(x_n)<0\) per \(n>\nu\) e ciò è assurdo, perché infiniti \(x_n\) si trovano in \(I\) (per definizione di limite applicata a \((x_n)\)) e dunque deve essere \(f(x_n)>0\).
Supponi che \(\lim_{x\to x_0} f(x)=l<0\); allora per ogni successione \((x_n)\) tale che \(x_n\to x_0\) hai \(\lim_n f(x_n)=l<0\); per il teorema sulla permanenza del segno per le successioni allora risulta \(f(x_n)<0\) per \(n>\nu\) e ciò è assurdo, perché infiniti \(x_n\) si trovano in \(I\) (per definizione di limite applicata a \((x_n)\)) e dunque deve essere \(f(x_n)>0\).
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