Vi propongo questo dopo quasi un anno di assenza
Dato $x \in \mathbb{R}$, si calcoli:
$\int_{-\infty}^{+\infty} cos(kx) \ \text{d}k$
$\int_{-\infty}^{+\infty} cos(kx) \ \text{d}k$
Risposte
Si so che la distribuzione della matematica in Analisi I, II, e III non è il massimo 
Grazie comunque della risposta 
Grazie comunque della risposta
Premetto che non ricordo per bene queste questioni, le sto studiando ora in un esame.. e in realtà darò l'esame a luglio!
In ogni caso, non penso che il tuo procedimento (@fireball) sia corretto:
quando si fa un limite improprio bisogna andare all'infinito arbitrariamente, tu invece vai all'infinito "simmetricamente".
Mi spiego meglio: dovresti prendere una successione arbitraria divergente positivamente, e un'altra divergente negativamente.
La convergenza dell'integrale improprio implica la convergenza "simmetrica" (si indica p.v. - principal value), mentre non vale il viceversa.
Ad esempio non esiste $\int_(RR) x dx$, mentre esiste il $"p.v." \int _(RR) x dx=0$.
Ora, se ricordo bene le definizioni (appunto, ipotesi su cui non farei affidamento), tu hai così solo provato che esiste il limite distribuzionale p.v.
In ogni caso, non penso che il tuo procedimento (@fireball) sia corretto:
quando si fa un limite improprio bisogna andare all'infinito arbitrariamente, tu invece vai all'infinito "simmetricamente".
Mi spiego meglio: dovresti prendere una successione arbitraria divergente positivamente, e un'altra divergente negativamente.
La convergenza dell'integrale improprio implica la convergenza "simmetrica" (si indica p.v. - principal value), mentre non vale il viceversa.
Ad esempio non esiste $\int_(RR) x dx$, mentre esiste il $"p.v." \int _(RR) x dx=0$.
Ora, se ricordo bene le definizioni (appunto, ipotesi su cui non farei affidamento), tu hai così solo provato che esiste il limite distribuzionale p.v.
Ho preso una successione arbitraria che diverge positivamente, dato che devo calcolare [tex]\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\int_{\mathbb{R}} \frac{2\sin(ax)}{x}\phi(x)\,dx[/tex]... [tex]a[/tex] è una quantità strettamente positiva.
Forse mi sono spiegato male, in effetti nel post ho parlato solo di "successioni divergenti di reali", sono stato troppo generico.
Ho sottointeso che fosse divergente positivamente. Scusate la svista...
Comunque sì, intendevo implicitamente "calcolare il v.p. di ..." Il fatto è che ho avuto un fisico come docente di Metodi Matematici per l'Ingegneria,
bravissimo per carità, ma non troppo formale, ricordo che andai a chiedergli di persona cosa era questo valor principale, che
io avevo letto sui libri ma di cui lui non ci aveva mai parlato...
Diciamo che è come dire [tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos x}{x}\,dx=0[/tex]... Si intende il valor principale... Lo so, è brutto
scriverlo così, infatti l'integrale in senso improprio su $RR$ di questa funzione non esiste.
Forse mi sono spiegato male, in effetti nel post ho parlato solo di "successioni divergenti di reali", sono stato troppo generico.
Ho sottointeso che fosse divergente positivamente. Scusate la svista...
Comunque sì, intendevo implicitamente "calcolare il v.p. di ..." Il fatto è che ho avuto un fisico come docente di Metodi Matematici per l'Ingegneria,
bravissimo per carità, ma non troppo formale, ricordo che andai a chiedergli di persona cosa era questo valor principale, che
io avevo letto sui libri ma di cui lui non ci aveva mai parlato...
Diciamo che è come dire [tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos x}{x}\,dx=0[/tex]... Si intende il valor principale... Lo so, è brutto
scriverlo così, infatti l'integrale in senso improprio su $RR$ di questa funzione non esiste.
Comunque ho sistemato un po' il post in cui ho scritto il mio procedimento. Magari adesso è un po' più chiaro.
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