Vi propongo questo dopo quasi un anno di assenza

[fireball1]

Dato $x \in \mathbb{R}$, si calcoli:

$\int_{-\infty}^{+\infty} cos(kx) \ \text{d}k$

[pater46]

Dal basso della mia ignoranza... Provo a ragionarci un pò...

Intanto la primitiva di $cos(kx)$ è $(sinkx)/x + c$, il tuo integrale allora si riduce a calcolare

[tex]lim_{j->-\infty} [ sin(kx)/x ]_{j}^0 + lim_{q->+\infty} [ sin(kx)/x ]_{0}^q[/tex]

Ora... Però i suddetti limiti in generale non esistono, tranne nel caso in cui $ kx = +- \pi/2 + \omega\pi/2 $ con $ \omega \in RR$... Ma questo comunque non dovrebbe bastare in quanto $k \in RR !in NN$...

E da qui non saprei come uscirne... Si potrebbe dire che siccome il seno è un funzione dispari, in generale si dovrebbe avere

$ [ sinx ]_(-a)^(+a) = [ sinx ]_(-a)^0 + [ sinx ]_(0)^(+a) = [ sinx ]_(-a)^0 - [ sinx ]_(0)^( -a ) = 0 $

E quindi se al posto di a si assume un k qualunque, questa condizione dovrebbe essere sempre verificata, ma all'infinito... non saprei.

Vediamo se c'è qualcuno che ne sa più di me

[fireball1]

$ [ sinx ]_(-a)^(+a) = [ sinx ]_(-a)^0 + [ sinx ]_(0)^(+a) = [ sinx ]_(-a)^0 - [ sinx ]_(0)^( -a ) = 0 $

Questa non l'ho capita... A casa mia $[sinx]_{-a}^{+a}= 2sin(a)$...

Volendo essere più precisi, diciamo che è un "integrale improprio nel senso delle distribuzioni"...

[pater46]

Mmm... guardando il grafico

[asvg]axes();
plot(" sin(x) ");[/asvg]
L'integrale da un qualsiasi $-k$ a $+k$ non si annulla? O meglio, l'area da un qualsiasi -k a 0 non è uguale in valore assoluto, ma di segno opposto, a quello da 0 a k?

( So che tecnicamente non si potrebbe parlare di area negativa, è solo per rendere l'idea.. )

PS: Non è che mi interessi tanto quello che fate a casa tua, stavo solo cercando di ragionarci un pò su -.-

[fireball1]

Vedilo come limite nel senso delle distribuzioni.

Posto [tex]f_a(x)=\int_{-a}^{+a} cos(kx) \ \text{d}k[/tex], calcolare
[tex]\lim_{a \to +\infty} f_a(x)[/tex] nel senso delle distribuzioni.

[fireball1]

pater46:
O meglio, l'area da un qualsiasi -k a 0 non è uguale in valore assoluto, ma di segno opposto, a quello da 0 a k?

Dovevi plottare il coseno, non il seno... E' di quello che si vuol calcolare l'integrale. ;)

[fireball1]

pater46:
PS: Non è che mi interessi tanto quello che fate a casa tua, stavo solo cercando di ragionarci un pò su -.-

Ma dai... Te la sei presa per così poco?! Stavo scherzando... :O

[pater46]

Ok, hai ragione XD Mmmm.. comunque non ho mai sentito parlare di limiti nel senso delle distribuzioni... Quindi mi sa che non ti posso proprio dare aiuto XD

No va beh non è che me la sn presa, è che stavo sl cercando di dare spunti, ma nemmeno io sono potuto arrivare a conclusioni... Vediamo se c'è qualcun'altro che ne sa di più!

[fireball1]

pater46:Quindi mi sa che non ti posso proprio dare aiuto XD

Tranquillo...

Comunque io l'ho già fatto l'esercizio e so qual è il risultato, non sto chiedendo aiuto, sto solo proponendolo agli utenti del forum come sfida!

[Seneca1]

"pater46":
Intanto la primitiva di $cos(kx)$ è $(sinkx)/x + c$,

Piccolo errore di battitura...

$(sinkx)/k$

[fireball1]

"Seneca":[quote="pater46"]
Intanto la primitiva di $cos(kx)$ è $(sinkx)/x + c$,

Piccolo errore di battitura...

$(sinkx)/k$[/quote]

No, ha scritto bene pater46: l'integrale è in dk, non in dx.

[Seneca1]

Ops.. Mi scuso allora.

[fireball1]

"Seneca":Ops.. Mi scuso allora.

Comunque concettualmente non cambia niente, ovviamente...
Bisogna solo integrare rispetto ad una delle due variabili, tenendo fissa l'altra.

[fireball-votailprof]

suggerimenti?

[fireball1]

Determinate prima l'integrale tra $-a$ ed $a$, dopodiché ponete $a=a_n$, con $a_n$ successione divergente positivamente e calcolate, nel senso delle distribuzioni,
$\lim_{n \to +\infty} f_{a_n}(x)$
dove $f_{a_n}(x)$ è il risultato dell'integrale, con $a_n$ al posto di $a$.

[fireball1]

Visto che nessuno ci prova, vi metto il mio procedimento in spoiler.

Esercizio. Calcolare [tex]\displaystyle\lim_{a\to+\infty}f_a(x)[/tex] nel senso delle distribuzioni, dove [tex]f_a(x):=\displaystyle\int_{-a}^{+a} \cos(kx)\,dk,\quad a\in(0,+\infty)[/tex].

Svolgimento.

Sia [tex]\{a_n\}[/tex] una arbitraria successione a valori in [tex](0,+\infty)[/tex], divergente. Per il teorema ponte (Analisi I), il limite
per [tex]a\to+\infty[/tex], nel senso delle distribuzioni, della [tex]f_a(x)[/tex], esiste e fa [tex]L[/tex] se e solo se per ogni successione siffatta,
il limite nel senso delle distribuzioni della successione di funzioni [tex]\hat f_n(x):=f_{a_n}(x)[/tex] esiste e fa [tex]L[/tex].
Si tratta dunque di calcolare:

[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \int_{\mathbb{R}}\hat f_n(x)\phi(x)\,dx,\quad \forall \phi \in C^{\infty}_{C}(\mathbb{R})[/tex], ovvero, esplicitando [tex]\hat f_n(x)[/tex],

[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \int_{\mathbb{R}} \frac{2\sin(a_n x)}{x}\phi(x)\,dx[/tex].

Ponendo [tex]a_n x=t[/tex] si ottiene

[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \int_{\mathbb{R}} \frac{2\sin t}{t}\phi\left(\frac{t}{a_n}\right)\,dt[/tex].

Il limite puntuale dell'integranda è [tex]\psi(t):=\frac{2\sin t}{t} \phi(0)[/tex]. Sia [tex]\psi_n(t)[/tex] l'integranda.

Possiamo maggiorarla nel seguente modo: [tex]\left|\psi_n(t)\right|\leq \left|\frac{2\sin t}{t}\right|\displaystyle\sup_{\mathbb{R}}\left|\phi\right|,\quad\forall t \in \mathbb{R}\backslash\{0\}[/tex].

La funzione a secondo membro è sommabile su [tex]\mathbb{R}[/tex], dunque per il Teorema della Convergenza Dominata

[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \int_{\mathbb{R}} \psi_n(t)\,dt = \int_{\mathbb{R}} \psi(t)\,dt=2\phi(0)\int_{\mathbb{R}}\frac{\sin t}{t}\,dt=2\pi\phi(0)[/tex].


Simbolicamente, dunque, possiamo concludere che, nel senso delle distribuzioni:

[tex]\displaystyle\lim_{a\to+\infty} f_a(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}\cos(kx)\,dk = 2\pi\delta(x)[/tex].

[dissonance]

Come lo enunci (e dimostri) un teorema di convergenza dominata per distribuzioni? Per me quello è un teorema sulla convergenza $L^1$ (o, con ovvia generalizzazione, $L^p$ con $1<=p<\infty$).

P.S.: Non è ironico, mi interessa veramente sapere come si fa. Di distribuzioni mastico poco.

[fireball1]

Dissonance, anzitutto tieni conto che io sono solo un umile ingegnere...
Ma a prescindere dai nomi, ho usato questo risultato.

[pater46]

Una curiosità: le distribuzioni in che analisi si dovrebbero studiare?

[fireball1]

Si dovrebbero studiare in Analisi III/Metodi Matematici per l'Ingegneria.

[dissonance]

@fireball: Ah si si scusa ho letto male. Avevo saltato un rigo, adesso capisco cosa hai fatto. Scusa la confusione.

@pater46: Le distribuzioni sono un tipico argomento di "analisi 3".