Vettori tangenti e vettori normali a una varietà
Ciao a tutti, ho difficoltà nel trovare i suddetti vettori data una varietà.
Dalla teoria ho capito che, dato un punto P della varietà:
1) Descritta in qualche modo la k-varietà, mi costruisco la parametrizzazione locale $f:R^k->R^n$, e scrivo la matrice jacobiana $Jf(P)$. Allora le colonne formano lo spazio dei vettori tangenti
2) Descritta in qualche modo la k-varietà, mi costruisco la funzione "luogo di zeri" $phi:R^n->R^(n-k)$, e scrivo la matrice jacobiana $Jphi(P)$. Allora le righe formano lo spazio dei vettori normali
Tutto giusto?
Ho problemi ad esempio con questo esercizio:
$y^2+z^2=x^2(1-x^2)$ è una 2-varietà tolto il punto $(0,0,0)$. Devo calcolare tangenti e normali in $Q(1,0,0)$.
Scelgo $phi(x,y,z)=y^2+z^2-x^2-x^4$, $Jphi=(-2x+4x^3, 2y, 2z)$, $Jphi(1,0,0)=(2,0,0)$, quindi $v=(1,0,0)$ è il vettore dello spazio normale.
Scelgo $f(u,v)=(u,v,+-sqrt(u^2-u^4-v^2))$, $Jf=((1,0),(0,1),(+-(2u-4u^3)/(2sqrt(u^2-u^4-v^2)), +-(-2v)/(2sqrt(u^2-u^4-v^2))))$.
Ora, $Q$ corrisponde a $(1,0)$, ma $Jf(1,0)$ NON è definito! Che cosa è sbagliato?!
[Alternativamente avrei pensato di trovarli a mano, è molto evidente che due vettori linearmente indipendenti tra loro e da v, che sono entrambi ortogonali a v, sono $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$), ma vorrei capire cosa non va nel metodo di sopra...]
Grazie
Dalla teoria ho capito che, dato un punto P della varietà:
1) Descritta in qualche modo la k-varietà, mi costruisco la parametrizzazione locale $f:R^k->R^n$, e scrivo la matrice jacobiana $Jf(P)$. Allora le colonne formano lo spazio dei vettori tangenti
2) Descritta in qualche modo la k-varietà, mi costruisco la funzione "luogo di zeri" $phi:R^n->R^(n-k)$, e scrivo la matrice jacobiana $Jphi(P)$. Allora le righe formano lo spazio dei vettori normali
Tutto giusto?
Ho problemi ad esempio con questo esercizio:
$y^2+z^2=x^2(1-x^2)$ è una 2-varietà tolto il punto $(0,0,0)$. Devo calcolare tangenti e normali in $Q(1,0,0)$.
Scelgo $phi(x,y,z)=y^2+z^2-x^2-x^4$, $Jphi=(-2x+4x^3, 2y, 2z)$, $Jphi(1,0,0)=(2,0,0)$, quindi $v=(1,0,0)$ è il vettore dello spazio normale.
Scelgo $f(u,v)=(u,v,+-sqrt(u^2-u^4-v^2))$, $Jf=((1,0),(0,1),(+-(2u-4u^3)/(2sqrt(u^2-u^4-v^2)), +-(-2v)/(2sqrt(u^2-u^4-v^2))))$.
Ora, $Q$ corrisponde a $(1,0)$, ma $Jf(1,0)$ NON è definito! Che cosa è sbagliato?!
[Alternativamente avrei pensato di trovarli a mano, è molto evidente che due vettori linearmente indipendenti tra loro e da v, che sono entrambi ortogonali a v, sono $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$), ma vorrei capire cosa non va nel metodo di sopra...]
Grazie
Risposte
Grazie che in $(1,0)$ la jacobiana non è definita... Le parametrizzazioni che proponi sono di classe $C^oo$ limitatamente all'aperto $A=\{ (u,v)\in RR^2: u^2(1-u^2)-v^2>0\}$ ma $(1,0)\notin A$.
Non ti conviene parametrizzare con $u=x, v=y$ perchè la funzione $F(x,y,z)=x^2(1-x^2)-y^2-z^2$ ha $(\partial F)/(\partial z)=0$ quindi viene a mancare la condizione buona per applicare il teorema del Dini.
Un suggerimento buono mi pare quello di passare a coordinate cilindriche rispetto al piano $Oyz$, ossia di fare le sostituzioni:
$\{(x=h),(y=r cos theta),(z=r sin theta):}$
di modo che l'equazione implicita della varietà diventa:
$h^2(1-h^2)-r^2=0 \quad$;
questa equazione, esplicitata rispetto ad $r$, ti fornisce il profilo che bisogna far ruotare intorno all'asse delle coordinate cilindriche (ossia $x$) per ottenere la tua varietà: nota che c'è un punto singolarissimo in $(0,0)$ e che in $(pm 1,0)$ il tuo profilo ha normale parallela all'asse $h$ (ossia $x$).
Quindi la normale in $Q$ è il versore dell'asse $x$, mentre il pino tangente è un traslato del piano $Oyz$.
Non ti conviene parametrizzare con $u=x, v=y$ perchè la funzione $F(x,y,z)=x^2(1-x^2)-y^2-z^2$ ha $(\partial F)/(\partial z)=0$ quindi viene a mancare la condizione buona per applicare il teorema del Dini.
Un suggerimento buono mi pare quello di passare a coordinate cilindriche rispetto al piano $Oyz$, ossia di fare le sostituzioni:
$\{(x=h),(y=r cos theta),(z=r sin theta):}$
di modo che l'equazione implicita della varietà diventa:
$h^2(1-h^2)-r^2=0 \quad$;
questa equazione, esplicitata rispetto ad $r$, ti fornisce il profilo che bisogna far ruotare intorno all'asse delle coordinate cilindriche (ossia $x$) per ottenere la tua varietà: nota che c'è un punto singolarissimo in $(0,0)$ e che in $(pm 1,0)$ il tuo profilo ha normale parallela all'asse $h$ (ossia $x$).
Quindi la normale in $Q$ è il versore dell'asse $x$, mentre il pino tangente è un traslato del piano $Oyz$.
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