Vettori L.D. e L.I.

[ranabaud]

c1 c2 c3
-1 1 0
1 1 2
0 1 1
Il determinante di questa matrice è 0 quindi alcuni dei vettori che la compongono sono linearmente dipendenti.
Per capire quali sono quelli L.I. riduco con Gauss e trovo che sono quelli delle colonne della matrice non ridotta a cui appartengono i pivot della matrice ridotta.

-1 1 0
0 2 2
0 0 0

Quindi le colonne c1 e c2

In altra parte del testo trovo che 2 vettori sono L.D. ss kv1= v2 vero infatti se v1 = 2,4,6 e v2 = 1,2,3 -> k = 2/1 4/2 6/3 -> k =2

Quindi mi sarei aspettato che facendo il rapporto fra i vettori della matrice non ridotta es. c1/c2 oppure c2/c3 di trovare un unico valore di k
ma così non è.
La domanda è dove sto sbagliando ?

[AlexZan]

Ciao,
il secondo metodo è corretto il problema è che consideri solamente due vettori alla volta, mentre un vettore è linearmente dipendente se si può scrivere come combinazione lineare degli altri due.
Questo si può verificare considerando i tre vettori

[math]\underline{v_1},\underline{v_2},\underline{v_3}[/math]

questi sono linearmente indipendenti se e solo se comunque presi tre coefficienti scalari a,b,c l'equazione:

[math]a\underline{v_1}+b\underline{v_2}+c\underline{v_3}=[0,0,0][/math]

ammette come unica soluzione:

[math][a,b,c]=[0,0,0][/math]

.
Di conseguenza se i coefficienti sono diversi da zero uno dei vettori può essere espresso come combinazione lineare degli altri due e quindi è dipendente. Banalmente il problema si riduce a ricercare il valore di k (come osservavi tu) nel caso di due soli vettori.

[ranabaud]

Grazie Alex,
Con il tuo aiuto ho chiarito il dubbio

[GiovanniPalama]

Ciao,
la dipendenza lineare di 2 dei 3 vettori la si può verificare in 2 modi:

1)Dispongo i vettori per colonna in una matrice esattamente come hai fatto tu.
Se la matrice ha rango uguale al numero di colonne della matrice, i vettori considerati sono linearmente indipendenti. Nel tuo caso (matrice quadrata), la precedente condizione equivale al fatto che il determinante della matrice sia diverso da zero. La conseguenza è che devi solo calcolare il determinante della matrice.

2)Osservando le colonne della matrice vedo che la terza colonna è data dalla somma della prima con la seconda.

Quindi le colonne c1 e c2 sono linearmente dipendenti.

Il coefficiente k lo calcolo dalla equazione:

[math]k(c_1+c_2)=c_3[/math]

da cui consegue che

[math]k=1[/math]

.

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Grazie anche a Giovanni con il suo intervento completa l'argomento.

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Grazie Giovanni,
per aver completato l'argomento.