Vettore nello spazio
buonasera!
avrei un dubbio sulla derivata delle componenti di un vettore nello spazio.
ad esempio consideriamo una terna cartesiana levogira ed un punto generico P di coordinate $(x,y,z)$. Consideriamo poi un altro punto P_1 generico ad una certa "distanza" dal primo. Il vettore spostamento che congiunge i due punti ha componenti $u,v,w$.
il vettore u è parallelo al piano $xy$? farne la derivata parziale rispetto ad $x,y,z$ che significato ha?
avrei un dubbio sulla derivata delle componenti di un vettore nello spazio.
ad esempio consideriamo una terna cartesiana levogira ed un punto generico P di coordinate $(x,y,z)$. Consideriamo poi un altro punto P_1 generico ad una certa "distanza" dal primo. Il vettore spostamento che congiunge i due punti ha componenti $u,v,w$.
il vettore u è parallelo al piano $xy$? farne la derivata parziale rispetto ad $x,y,z$ che significato ha?
Risposte
Chiariamo... Cambiando un po' la notazione, se non ti spiace.
Diciamo che $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ è fisso e $P=(x,y,z)$ è variabile. Il vettore spostamento è $PP_0=(x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ ossia:
\[
PP_0=(x-x_0)\mathbf{i} + (y-y_0) \mathbf{j} + (z-z_0) \mathbf{k}
\]
avendo usato le solite lettere per i versori degli assi. Si vede così che le componenti di $PP_0$ lungo le direzioni degli assi sono funzioni delle coordinate di $P$ e che, perciò, ha senso calcolarne le derivate parziali rispetto alle variabili da cui dipendono.
Diciamo che $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ è fisso e $P=(x,y,z)$ è variabile. Il vettore spostamento è $PP_0=(x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ ossia:
\[
PP_0=(x-x_0)\mathbf{i} + (y-y_0) \mathbf{j} + (z-z_0) \mathbf{k}
\]
avendo usato le solite lettere per i versori degli assi. Si vede così che le componenti di $PP_0$ lungo le direzioni degli assi sono funzioni delle coordinate di $P$ e che, perciò, ha senso calcolarne le derivate parziali rispetto alle variabili da cui dipendono.
C'è qualcosa che non mi torna. Le derivate parziali (è parte di una dimostrazione) vengono fatte delle tre componenti $u,v,w$, ognuna però rispetto ad $x,y,z$. Vuol dire che la u stessa è funzione delle tre variabili $x,y,z$. Così come sono scritte le componenti del vettore spostamento, ad esempio per la $u$, la derivata rispetto ad y e z sarebbe zero e non dovrebbe essere così. O mi sbaglio?
Le coordinate del vettore spostamento possono dipendere in generale da tutte e 3 le variabili x,y,z, un esempio classico è lo spostamento in meccanica dei continui:
Considera una regione $Omega sub RR^3$, che rappresenta la configurazione indeformata del nostro continuo, sia $x in Omega$ un punto generico, rispetto a questa configurazione indeformata si cercano configurazioni deformate attraverso applicazioni $x->y=y(x) in RR^3$, la regione $beta=y(Omega)$ è la nostra configurazione deformata, si definisce campo degli spostamenti il campo vettoriale $x-> u(x)=y(x)-x$, tale vettore spostamento dipende in generale da tutte e tre le variabili indipendenti di $RR^3$ perché $y(x)$ è tale. Poi facendo una approssimazione al primo ordine si trova il tensore di deformazione ottenuto come parte simmetrica del gradiente di $u$ ma è un'altra storia...
Considera una regione $Omega sub RR^3$, che rappresenta la configurazione indeformata del nostro continuo, sia $x in Omega$ un punto generico, rispetto a questa configurazione indeformata si cercano configurazioni deformate attraverso applicazioni $x->y=y(x) in RR^3$, la regione $beta=y(Omega)$ è la nostra configurazione deformata, si definisce campo degli spostamenti il campo vettoriale $x-> u(x)=y(x)-x$, tale vettore spostamento dipende in generale da tutte e tre le variabili indipendenti di $RR^3$ perché $y(x)$ è tale. Poi facendo una approssimazione al primo ordine si trova il tensore di deformazione ottenuto come parte simmetrica del gradiente di $u$ ma è un'altra storia...
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