Vettore gradiente analisi II

[mery3000]

ho questo esercizio:
scrivere il vettore gradiente di:
- f(x,y)=tg x^2/y
- f(x,y)=log(x^2-xy)
- f(x,y)=3^x^2-y-2 (IL 3 è ELEVATO A X^2-Y-2 TUTTO SOTTO RADICE QUADRATA)
- f(x,y,z)=e^x^2/3xz


Io so che il vettore gradiente è un vettore le cui componenti sono le derivate parziali di f nel punto(x,y). Ma non dovrei avere il punto(x,y).

Aiutatemi ho l'esame di analisi II a breve!
Grazie!

[ciampax]

Per definizione, l'operatore

[math]\nabla[/math]

(nabla) è dato, in 2 e 3 dimensioni, come

[math]\nabla=\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}[/math]

[math]\nabla=\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}[/math]

Puoi sempre (almeno computazionalmente) calcolare il gradiente di una funzione come il vettore composto dalle derivate parziali della funzione. Il fatto di avere un punto serve solo a calcolare il gradiente in un punto speifico, mentre nel tuo caso vuoi calcolare la funzione gradiente.

Ad esempio per il primo esercizio hai

[math]\nabla f(x,y)=\left(\frac{1}{\cos^2(x^2/y)}\cdot\frac{x(2y-x)}{y^2},\ -\frac{1}{\cos^2(x^2/y)}\cdot\frac{x^2)}{y^2}\right)=\\
\frac{1}{\cos^2(x^2/y)}\cdot\frac{x}{y^2}\ \left(2y-x,-x)[/math]