Versore tangente in un punto e curva di livello
ho questa funzione $f(x,y)=e^x(2x^2-xy+y^2)$ devo determinare un versore tangente nel punto $(0,1)$ la relativa curva di livello....nn capisco ma quello che mi chiede è trovare la derivata direzionale?
Risposte
No: devi prima di tutto trovare una curva di livello che passi per quel punto. Fatto questo, dal momento che hai una curva, devi determinare il versore tangente.
ciampax:
No: devi prima di tutto trovare una curva di livello che passi per quel punto. Fatto questo, dal momento che hai una curva, devi determinare il versore tangente.
quindi determino la curva di livello:
$f(x,y)=e^x(2x^2-xy+y^2)$
$f(x,y)=k$
$f(0,1)=e^0(2*(0)^2-0*1+1^2)=1(0-0+1)=1$
$e^x(2x^2-xy+y^2)=1$
$2e^x x^2-e^x xy+e^x y^2-1=0$
esatto? come faccio a determinare il versore tg
Hai una curva in forma implicita data da $e^x(2x^2-xy+y^2)=1$. Ora sono certo che al corso avrete visto una formula o una tecnica per determinare il vettore tangente di una cosa simile, vero?
ciampax:
Hai una curva in forma implicita data da $e^x(2x^2-xy+y^2)=1$. Ora sono certo che al corso avrete visto una formula o una tecnica per determinare il vettore tangente di una cosa simile, vero?
si solo che nn ho capito tanto quando il prof diceva di trovare la derivata in funzione della x o della y...se nn sbaglio
Derivate di funzioni implicite: non è difficile. Pensaci un poco su. In alternativa potresti trovare una parametrizzazione di quella curva, ma è una cosa più laboriosa.
ciampax:
Derivate di funzioni implicite: non è difficile. Pensaci un poco su. In alternativa potresti trovare una parametrizzazione di quella curva, ma è una cosa più laboriosa.
forse ho capito ma con questa funzione mi è piu difficile praticamente facendo un esempio se ho una funzione $x^2+y^2=c$ che passi per il punto $(1,1)$ la curva di livello sarà $x^2+y^2=2$ quindi siccome il $\grad\!=0$
prendiamo la funzione implicitamete definita $y=sqrt(2-x^2)$ la sua derivata sarà $y'=-(x/(sqrt(2-x^2)))=-(x/y)$ quindi nel punto $(1,1)$ sarà $y'(1)=-(1/1)=-1$ quindi il vettore sara $(....,1)$ e la x qualè sarà?
come si trova?
e poi da questo come faccio a trovare il versore?
...e nel caso il punto fosse stato $(0,1)$ o $(1,0)$ spero in qualche chiarimento
scarsetto:
[quote=ciampax]Derivate di funzioni implicite: non è difficile. Pensaci un poco su. In alternativa potresti trovare una parametrizzazione di quella curva, ma è una cosa più laboriosa.
forse ho capito ma con questa funzione mi è piu difficile praticamente facendo un esempio se ho una funzione $x^2+y^2=c$ che passi per il punto $(1,1)$ la curva di livello sarà $x^2+y^2=2$ quindi siccome il $\grad\!=0$
prendiamo la funzione implicitamete definita $y=sqrt(2-x^2)$ la sua derivata sarà $y'=-(x/(sqrt(2-x^2)))=-(x/y)$ quindi nel punto $(1,1)$ sarà $y'(1)=-(1/1)=-1$ quindi il vettore sara $(....,-1)$ e la x qualè sarà?
come si trova?
e poi da questo come faccio a trovare il versore?
...e nel caso il punto fosse stato $(0,1)$ o $(1,0)$ spero in qualche chiarimento
Io ho parlato di derivate implicite: tu hai esplicitato la funzione: nel caso in esame non è molto comodo svolgere i calcoli in questo modo. La mia domanda è la seguente: se hai una curva data in forma $f(x,y)=c$ tale curva giace sul piano $z=c$. Ora, il vettore tangente sarà qualcosa del tipo $(\alpha,\beta,c)$ dove $\alpha,\ \beta$ si determinano a partire dalle derivate della funzione $f$: sai come si fa questa cosa o no?
ciampax:
Io ho parlato di derivate implicite: tu hai esplicitato la funzione: nel caso in esame non è molto comodo svolgere i calcoli in questo modo. La mia domanda è la seguente: se hai una curva data in forma $f(x,y)=c$ tale curva giace sul piano $z=c$. Ora, il vettore tangente sarà qualcosa del tipo $(\alpha,\beta,c)$ dove $\alpha,\ \beta$ si determinano a partire dalle derivate della funzione $f$: sai come si fa questa cosa o no?
quindi dalle derivate di $f(x,y)=e^x(2x^2-xy+y^2)$ ?
Certo che sì. Dunque, mi sa che la cosa ti sfugge, per cui ti faccio il riassunto: consideriamo una curva di livello $f(x,y)=c$ la quale si trova sul piano $z=c$. Come è noto (o così dovrebbe essere), il vettore $n=(f_x,f_y,1)$ risulta normale alla superficie $z=f(x,y)$ (in quanto tramite esso si determina il piano tangente) e quindi il vettore tangente alla curva di livello dovrà essere un vettore $T=(\alpha,\beta,\gamma)$ tale che $t\cdot n=0$ (prodotto scalare). Inoltre, dal momento che il vettore giace su un piano parallelo al piano $xOy$ si deve avere pure $\gamma=0$ (prova a spiegare perché.). Ma allora si ha $\alpha f_x+\beta f_y=0$ e quindi possiamo scegliere $\alpha=f_y,\ \beta=-f_x$. Ne segue che il vettore $T=(f_y,-f_x,0)$ è tangente la curva di livello ed il versore tangente risulta
$t=1/{\sqrt{f_y^2+f_x^2}}(f_y,-f_x,0)$
$t=1/{\sqrt{f_y^2+f_x^2}}(f_y,-f_x,0)$
ciampax:
Certo che sì. Dunque, mi sa che la cosa ti sfugge, per cui ti faccio il riassunto: consideriamo una curva di livello $f(x,y)=c$ la quale si trova sul piano $z=c$. Come è noto (o così dovrebbe essere), il vettore $n=(f_x,f_y,1)$ risulta normale alla superficie $z=f(x,y)$ (in quanto tramite esso si determina il piano tangente) e quindi il vettore tangente alla curva di livello dovrà essere un vettore $T=(\alpha,\beta,\gamma)$ tale che $t\cdot n=0$ (prodotto scalare). Inoltre, dal momento che il vettore giace su un piano parallelo al piano $xOy$ si deve avere pure $\gamma=0$ (prova a spiegare perché.). Ma allora si ha $\alpha f_x+\beta f_y=0$ e quindi possiamo scegliere $\alpha=f_y,\ \beta=-f_x$. Ne segue che il vettore $T=(f_y,-f_x,0)$ è tangente la curva di livello ed il versore tangente risulta
$t=1/{\sqrt{f_y^2+f_x^2}}(f_y,-f_x,0)$
Quindi $b=(x-2y)/(4x-y)$ e $a=(4x-y)/(x-2y)$ ora dovrei calcolare $t$
Scusa, che hai fatto?
ciampax:
Scusa, che hai fatto?
sinceramente nn ricordo neanche io che ho combinato...cmq praticamente se io avessi un piano $ax+by+cz+d=0$ il vettore normale al piano sarebbe $(a,b,c)$ ma alla curva $e^x(2x^2-xy+y^2)=1$ quale sarebbe
ciampax:
Certo che sì. Dunque, mi sa che la cosa ti sfugge, per cui ti faccio il riassunto: consideriamo una curva di livello $f(x,y)=c$ la quale si trova sul piano $z=c$. Come è noto (o così dovrebbe essere), il vettore $n=(f_x,f_y,1)$ risulta normale alla superficie $z=f(x,y)$ (in quanto tramite esso si determina il piano tangente) e quindi il vettore tangente alla curva di livello dovrà essere un vettore $T=(\alpha,\beta,\gamma)$ tale che $t\cdot n=0$ (prodotto scalare). Inoltre, dal momento che il vettore giace su un piano parallelo al piano $xOy$ si deve avere pure $\gamma=0$ (prova a spiegare perché.). Ma allora si ha $\alpha f_x+\beta f_y=0$ e quindi possiamo scegliere $\alpha=f_y,\ \beta=-f_x$. Ne segue che il vettore $T=(f_y,-f_x,0)$ è tangente la curva di livello ed il versore tangente risulta
$t=1/{\sqrt{f_y^2+f_x^2}}(f_y,-f_x,0)$
Lasciando stare tutto ciò che ho scritto successivamente nn ho capito cm mai da ciò $\alpha f_x+\beta f_y=0$ si arriva a dire che $\alpha=f_y,\ \beta=-f_x$ e quindi poi a dire che il vettore $T=(f_y,-f_x,0)$ è tangente la curva di livello
"scarsetto":
Lasciando stare tutto ciò che ho scritto successivamente nn ho capito cm mai da ciò $\alpha f_x+\beta f_y=0$ si arriva a dire che $\alpha=f_y,\ \beta=-f_x$
Una somma è uguale 0 se i suoi termini sono l'uno l'opposto dell'altro
sostituendo ad $alpha$ ->$f_y$ e a $beta$ -> $-f_x$ ottieni
$f_yf_x-f_xf_y=0$
gio73:
[quote=scarsetto]
Lasciando stare tutto ciò che ho scritto successivamente nn ho capito cm mai da ciò $\alpha f_x+\beta f_y=0$ si arriva a dire che $\alpha=f_y,\ \beta=-f_x$
Una somma è uguale 0 se i suoi termini sono l'uno l'opposto dell'altro
sostituendo ad $alpha$ ->$f_y$ e a $beta$ -> $-f_x$ ottieni
$f_yf_x-f_xf_y=0$[/quote]
e perchè devo sostituire $alpha$ ->$f_y$ e a $beta$ -> $-f_x$ ??
infatti è questo che nn ho capito in cio che scrive ciampax: Ma allora si ha $\alpha f_x+\beta f_y=0$ e quindi possiamo scegliere $\alpha=f_y,\ \beta=-f_x$
@scarsetto: io ho due valori noti, $a,b$ e due incogniti $x,y$ e so che $ax+by=0$. Questo implica che $x=-{by}/a$ Se allora scelgo $y=a$ ne segue $x=-b$.
Scarsetto, tu però due conti e un pochino di spremitura di meningi ce la devi pure mettere, se no da qua non ne usciamo vivi!
Io poi ti ho scritto una formula che dovresti "adattare" alla tua situazione, sapendo che $f(x,y)$ è la funzione implicita scritta all'inizio!
Scarsetto, tu però due conti e un pochino di spremitura di meningi ce la devi pure mettere, se no da qua non ne usciamo vivi!
Io poi ti ho scritto una formula che dovresti "adattare" alla tua situazione, sapendo che $f(x,y)$ è la funzione implicita scritta all'inizio!
ciampax:
@scarsetto: io ho due valori noti, $a,b$ e due incogniti $x,y$ e so che $ax+by=0$. Questo implica che $x=-{by}/a$ Se allora scelgo $y=a$ ne segue $x=-b$.
Scarsetto, tu però due conti e un pochino di spremitura di meningi ce la devi pure mettere, se no da qua non ne usciamo vivi!
Io poi ti ho scritto una formula che dovresti "adattare" alla tua situazione, sapendo che $f(x,y)$ è la funzione implicita scritta all'inizio!
...quindi $D_{x} f(x,y)=e^x(2x^2-x(y-4)+(y-1)y)$ e $D_{y} f(x,y)=e^x(2x^2-x(y+1)+y(y+2))$ quindi il vettore tangente la curva di livello sara $T=(e^x(2x^2-x(y+1)+y(y+2)),-e^x(2x^2-x(y-4)+(y-1)y),0)$ è cosi giusto? ora dovrei calcolare il versore
Ma come le fai le derivate parziali?????
$f_x=e^x(2x^2-xy+y^2)+e^x(4x-y)=1+e^x(4x-y)$ (tenuto conto che $f(x,y)=1$)
$f_y=e^x(-x+2y)$
per cui $T=(1+e^x(4x-y),e^x(2y-x),0)$. Per calcolare il versore basta ricordare che $t=T/{||T||}$ ha modulo 1.
$f_x=e^x(2x^2-xy+y^2)+e^x(4x-y)=1+e^x(4x-y)$ (tenuto conto che $f(x,y)=1$)
$f_y=e^x(-x+2y)$
per cui $T=(1+e^x(4x-y),e^x(2y-x),0)$. Per calcolare il versore basta ricordare che $t=T/{||T||}$ ha modulo 1.
ciampax:
Ma come le fai le derivate parziali?????
$f_x=e^x(2x^2-xy+y^2)+e^x(4x-y)=1+e^x(4x-y)$ (tenuto conto che $f(x,y)=1$)
$f_y=e^x(-x+2y)$
per cui $T=(1+e^x(4x-y),e^x(2y-x),0)$. Per calcolare il versore basta ricordare che $t=T/{||T||}$ ha modulo 1.
mi saro confuso...cmq nn hai detto che è un vettore del tipo $T=(f_y,-f_x,0)$ ??
quindi $T=(e^x(2y-x),-(1+e^x(4x-y)),0)$
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