Versore normale di una superficie
Ciao a tutti! Ho un problema, non riesco a capire bene come ricavare il versore normale di una superficie e come parametrizzare una superficie. Per esempio se ho un paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$ con z che varia da 0 a 4, dovrei parametrizzarla usando il seno e il coseno giusto? Ma come esattamente?
Inoltre dopo aver parametrizzato la superficie, sarei in grado di calcolarmi il versore normale?
Inoltre dopo aver parametrizzato la superficie, sarei in grado di calcolarmi il versore normale?
Risposte
È più facile calcolare il versore normale che una parametrizzazione, in questo caso. Se la superficie è data dall'equazione \(f(x_1, x_2\ldots x_n)=0\) allora il vettore \(\nabla f(x_1\ldots x_n)\) è normale ad essa. Normalizzando ottieni il versore.
quindi in questo caso dovrei fare cosi:
$ (del x^2)/(delx)= 2x$
$(dely^2)/(dely)=2y$
$(delz)/(delz)=1$
e la norma è $(4x^2+4y^2+1)^(1/2)$
Quindi il versore normale in questo caso è $ ((2x)/(4x^2+4y^2+1)^(1/2),(2y)/(4x^2+4y^2+1)^(1/2),1/(4x^2+4y^2+1)^(1/2))$
È cosi? Però mi sorge un dubbio, se faccio la derivata di una funzione non trovo la tangente invece della normale?
In generale se sono in presenza di una superficie parametrizzata come procedo?
$ (del x^2)/(delx)= 2x$
$(dely^2)/(dely)=2y$
$(delz)/(delz)=1$
e la norma è $(4x^2+4y^2+1)^(1/2)$
Quindi il versore normale in questo caso è $ ((2x)/(4x^2+4y^2+1)^(1/2),(2y)/(4x^2+4y^2+1)^(1/2),1/(4x^2+4y^2+1)^(1/2))$
È cosi? Però mi sorge un dubbio, se faccio la derivata di una funzione non trovo la tangente invece della normale?
In generale se sono in presenza di una superficie parametrizzata come procedo?
Ma qui non hai il grafico di una funzione. Questa è una superficie descritta da una equazione, è una cosa diversa. Per ricordarsi come trovare la normale basta considerare una generica curva \(\gamma\) contenuta nella superficie, ovvero, tale che
\[
f(\gamma(t))=0, \qquad \forall t.\]
Derivando rispetto a \(t\) e valutando in \(t=0\) si trova
\[
\nabla f(\gamma(0))\cdot\dot\gamma(0)=0, \]
quindi \(\nabla f(\gamma(0))\) è un vettore ortogonale al vettore \(\dot\gamma\). Al variare di \(\gamma\), questo descrive tutti i vettori tangenti alla superficie, quindi \(\nabla f\) è normale alla superficie.
Se la tua superficie è data in forma parametrica trovare la normale è un po' più complicato, tocca usare il prodotto vettoriale.
\[
f(\gamma(t))=0, \qquad \forall t.\]
Derivando rispetto a \(t\) e valutando in \(t=0\) si trova
\[
\nabla f(\gamma(0))\cdot\dot\gamma(0)=0, \]
quindi \(\nabla f(\gamma(0))\) è un vettore ortogonale al vettore \(\dot\gamma\). Al variare di \(\gamma\), questo descrive tutti i vettori tangenti alla superficie, quindi \(\nabla f\) è normale alla superficie.
Se la tua superficie è data in forma parametrica trovare la normale è un po' più complicato, tocca usare il prodotto vettoriale.
Dici che non ho il grafico di una funzione, è perchè non ho scritto $z=x^2+y^2$ in questo modo $ F(x,y,z)=x^2+y^2-z$?
Poi nella formula che hai scritto $\nabla f(\gamma(0))$ moltiplicato scalarmente per $\gamma(0)$, $\gamma(0)$ non dovrebbe essere in realtà la derivata e cioè $\gamma’(0)$?
Poi nella formula che hai scritto $\nabla f(\gamma(0))$ moltiplicato scalarmente per $\gamma(0)$, $\gamma(0)$ non dovrebbe essere in realtà la derivata e cioè $\gamma’(0)$?
Poi nella formula che hai scritto ∇f(γ(0)) moltiplicato scalarmente per γ(0), γ(0) non dovrebbe essere in realtà la derivata e cioè γ’(0)?Certo, errore di battitura.
Dici che non ho il grafico di una funzione, è perchè non ho scritto z=x2+y2 in questo modo F(x,y,z)=x2+y2−z?La superficie è data da \(F(x, y,z)=0. \) Lo puoi anche scrivere come grafico, ovvero come \(z=x^2+y^2\), ma questo è un altro discorso.
va bene, grazie mille!
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