Versore normale ad una superficie
chi mi spiega come calcolare la normale ad una superficie per qualsiasi tipo di forma geometrica solida?avrei letto qualcosa da qualche parte in rete ma non ho trovato degli esempi
Risposte
Allora, con "versore normale ad una superficie" si intende un vettore di modulo unitario perpendicolare al piano tangente alla superficie in un punto.
- Se la superficie è espressa scalarmente, il vettore normale $n$ avrà come componenti le derivate parziali di $F(x,y,z)=0$...da questo il versore normale $N$ lo si otterrà come $n/||n||$.
- Se la superficie è espressa vettorialmente, allora il vettore $n$ sarà dato dal prodotto vettoriale dei "vettori derivate parziali" $P_u$ e $P_v$...poi anche in questo caso si avrà ovviamente $N=n/||n||$.
Ciao
- Se la superficie è espressa scalarmente, il vettore normale $n$ avrà come componenti le derivate parziali di $F(x,y,z)=0$...da questo il versore normale $N$ lo si otterrà come $n/||n||$.
- Se la superficie è espressa vettorialmente, allora il vettore $n$ sarà dato dal prodotto vettoriale dei "vettori derivate parziali" $P_u$ e $P_v$...poi anche in questo caso si avrà ovviamente $N=n/||n||$.
Ciao
dovrei dire che sono novello sul campo vettoriale e quindi mi servirebbero delle esercitazioni.
per esempio io dovrei calcolare la normale di un cilindro quale sua altezza $L$ è inclinata rispetto all'asse delle $z$ di un angolo i (quale i è 90 gradi quando $L$ è parallelo all'asse dell $z$) esso è distante dalle origine degli assi $O(0,0,-L/2)$ praticamente centrato sulle origne
per esempio io dovrei calcolare la normale di un cilindro quale sua altezza $L$ è inclinata rispetto all'asse delle $z$ di un angolo i (quale i è 90 gradi quando $L$ è parallelo all'asse dell $z$) esso è distante dalle origine degli assi $O(0,0,-L/2)$ praticamente centrato sulle origne
La normale di un cilindro?? Non è unica. Infatti, come già ti è stato detto, si parla di versore normale ad una superficie e quest'ultima non è unica in un cilindro. Comunque, fissato il sistema di riferimento, la risposta non è difficile, in particolare sulle superfici di base.
ecco però vorrei qualcuno che mi aiutasse a risolvere il mio quesito..ripeto sono novello nel calcolo vettoriale
Allora, innanzitutto conviene dare una parametrizzazione dell'oggetto in questione.
Quella che a me viene in mente è: $f(theta,t)=(Rcostheta,Rsintheta + tcosi,t)$ con $0<=theta<=2pi$, $-L/2sini<=t<=L/2sini$, dove $L$ è la lunghezza dell'altezza obliqua, $R$ è il raggio del cilindro, e $i$ è l'inclinazione dell'altezza che dici tu.
Ora, dato un punto $(theta_0,t_0)$ del cilindro, il vettore normale in questo punto è dato dalla formula $n=((\partialf)/ (\partialtheta))_(|(theta_0,t_0)) times ((\partialf)/ (\partialt))_(|(theta_0,t_0))$, dove $times$ è il prodotto vettoriale, e $(\partialf)/ (\partialtheta)$, $(\partialf)/ (\partialt)$ sono le derivate parziali calcolate nel punto dato.
Quindi:
$(\partialf)/ (\partialtheta)=(-Rsintheta,Rcostheta,0)$
$(\partialf)/ (\partialt)=(0,cosi,1)$
da cui si ottiene: $n=((\partialf)/ (\partialtheta))_(|(theta_0,t_0)) times ((\partialf)/ (\partialt))_(|(theta_0,t_0))= (-Rsintheta_0,Rcostheta_0,0) times (0,cosi,1) = (Rcostheta_0,Rsintheta_0,-Rcosisintheta_0)$ che è proporzionale a $R$, e quindi possiamo riscriverelo come $n=(costheta_0,sintheta_0,cosisintheta_0)$ che tanto ha la stessa direzione del primo.
Infine, normalizziamo: $N=n/(||n||)=("("costheta_0,sintheta_0,cosisintheta_0")")/sqrt(1+cos^2isin^2theta_0)$
N.B.: il cilindro così descritto, si intende vuoto e senza basi! Se vuoi calcolare anche la normale alle basi, si vede "a occhio" che è $N=(0,0,1)$ ovvero la direzione dell'asse $z$.
Quella che a me viene in mente è: $f(theta,t)=(Rcostheta,Rsintheta + tcosi,t)$ con $0<=theta<=2pi$, $-L/2sini<=t<=L/2sini$, dove $L$ è la lunghezza dell'altezza obliqua, $R$ è il raggio del cilindro, e $i$ è l'inclinazione dell'altezza che dici tu.
Ora, dato un punto $(theta_0,t_0)$ del cilindro, il vettore normale in questo punto è dato dalla formula $n=((\partialf)/ (\partialtheta))_(|(theta_0,t_0)) times ((\partialf)/ (\partialt))_(|(theta_0,t_0))$, dove $times$ è il prodotto vettoriale, e $(\partialf)/ (\partialtheta)$, $(\partialf)/ (\partialt)$ sono le derivate parziali calcolate nel punto dato.
Quindi:
$(\partialf)/ (\partialtheta)=(-Rsintheta,Rcostheta,0)$
$(\partialf)/ (\partialt)=(0,cosi,1)$
da cui si ottiene: $n=((\partialf)/ (\partialtheta))_(|(theta_0,t_0)) times ((\partialf)/ (\partialt))_(|(theta_0,t_0))= (-Rsintheta_0,Rcostheta_0,0) times (0,cosi,1) = (Rcostheta_0,Rsintheta_0,-Rcosisintheta_0)$ che è proporzionale a $R$, e quindi possiamo riscriverelo come $n=(costheta_0,sintheta_0,cosisintheta_0)$ che tanto ha la stessa direzione del primo.
Infine, normalizziamo: $N=n/(||n||)=("("costheta_0,sintheta_0,cosisintheta_0")")/sqrt(1+cos^2isin^2theta_0)$
N.B.: il cilindro così descritto, si intende vuoto e senza basi! Se vuoi calcolare anche la normale alle basi, si vede "a occhio" che è $N=(0,0,1)$ ovvero la direzione dell'asse $z$.
Per agevolarti la comprensione scelgo una superficie che sia più facile da "maneggiare"...
Presa $S$ una superficie scalare $z=x^2+y^2$, procediamo a calcolare il vettore normale $n$....allora si scrive la funzione implicita $F(x,y,z)=0$, ossia $z-x^2-y^2=0$ e si calcolano le derivate parziali, dunque:
$(dF)/(dz)=1$, $(dF)/(dx)=-2x$ e $(dF)/(dy)=-2y$, il vettore $n=(1, -2x, -2y)$ è il vettore normale ad $S$...per trovare il versore normale $N$, basta prendere il vettore normale $n$ e dividerlo per il suo modulo.
Se invece $S$ avesse avuto equazione vettoriale, ossia:
$\{(x=u), (y=v), (z=u^2+v^2):}$
allora avremmo dovuto calcolare i "vettori derivate parziali", cioè:
$P_u=(1, 0, 2u)$ e $P_v=(0, 1, 2v)$
ora si farà il prodotto vettoriale $n=(P_u X P_v)$, quindi
$n=|(1, 0, 2u), (0, 1, 2v)|=(-2u, -2v, 1)$
per trovare $N$ si procede sempre prendendo $n$ e dividendolo per il suo modulo.
Presa $S$ una superficie scalare $z=x^2+y^2$, procediamo a calcolare il vettore normale $n$....allora si scrive la funzione implicita $F(x,y,z)=0$, ossia $z-x^2-y^2=0$ e si calcolano le derivate parziali, dunque:
$(dF)/(dz)=1$, $(dF)/(dx)=-2x$ e $(dF)/(dy)=-2y$, il vettore $n=(1, -2x, -2y)$ è il vettore normale ad $S$...per trovare il versore normale $N$, basta prendere il vettore normale $n$ e dividerlo per il suo modulo.
Se invece $S$ avesse avuto equazione vettoriale, ossia:
$\{(x=u), (y=v), (z=u^2+v^2):}$
allora avremmo dovuto calcolare i "vettori derivate parziali", cioè:
$P_u=(1, 0, 2u)$ e $P_v=(0, 1, 2v)$
ora si farà il prodotto vettoriale $n=(P_u X P_v)$, quindi
$n=|(1, 0, 2u), (0, 1, 2v)|=(-2u, -2v, 1)$
per trovare $N$ si procede sempre prendendo $n$ e dividendolo per il suo modulo.
GRAZIE!!!!gygabyte017...e grazie anche a te Alexp sete stati di vero aiuto..non avevo capito propio il calcolo dell'unità normale e non mi era propio venuto in mente di usare una parametrizzazione del cilindro ..... ho comunque studiato un pò il tuo esempio ed ho corretto un tuo
(ora non so se non mi sono reso chiaro io inizialmente infatti l'angolo i è formato dall'altezza del cilindro pari a $L/2$ e la coordinata $x$ del piano cartesiano quale angolo $i$ è pari a 0 quando $L/2$ è parallelo all'asse delle $x$)
così essendo $x=R cosθ sini +t cosi$,$y=R sinθ$,$z=t sini-R cosθ cosi$
ho sostituito alla tua finzione $f(θ,t)=(Rcosθ,Rsinθ+tcosi,t)$con la mia correzzione $f(θ,t)=(R cosθ sini +t cosi,R sinθ,t sini-R cosθ cosi)$ e seguendo la risoluzione come l'hai eseguita tu gygabyte017...ho ottenuto il seguente risultato:
$N=(cos[f] sin,sin[θ], - cos[θ] cos)$
non ho messo ancora in pratica su ciò che mi serve il risultato dell'unità normale...sperosia questa
vi faccio sapere
(ora non so se non mi sono reso chiaro io inizialmente infatti l'angolo i è formato dall'altezza del cilindro pari a $L/2$ e la coordinata $x$ del piano cartesiano quale angolo $i$ è pari a 0 quando $L/2$ è parallelo all'asse delle $x$)
così essendo $x=R cosθ sini +t cosi$,$y=R sinθ$,$z=t sini-R cosθ cosi$
ho sostituito alla tua finzione $f(θ,t)=(Rcosθ,Rsinθ+tcosi,t)$con la mia correzzione $f(θ,t)=(R cosθ sini +t cosi,R sinθ,t sini-R cosθ cosi)$ e seguendo la risoluzione come l'hai eseguita tu gygabyte017...ho ottenuto il seguente risultato:
$N=(cos[f] sin,sin[θ], - cos[θ] cos)$
non ho messo ancora in pratica su ciò che mi serve il risultato dell'unità normale...sperosia questa
vi faccio sapere
Prego, aah non avevo capito come era fatto il cilindro (occhio che ora il mio aveva le basi parallele al piano xy, il tuo non più quindi la normale alle basi cambia).
Si il tuo risultato è giusto (immagino che $cosf$ sia $costheta$
)
Ciao!
Si il tuo risultato è giusto (immagino che $cosf$ sia $costheta$
)Ciao!
ops....si $cos[f]$ è $cos[θ]$ e che sul foglio dell'esercitazione non ho usato θ come angolo ma f
Dopo anni mi accorgo che prima ero più intraprendente su questi problemi,è passato molto tempo è ho lasciato un pochino di cose...e quindi sono un pó arruginito....ora dopo essere riuscito ad arrivare alla conoscenza per l'unità vettore alla superficie di un cilindro...mi chiedo quale sarebbe l'unità vettore alla superficie di un parallelepipedo?
"Alexp":
$n=|(1, 0, 2u), (0, 1, 2v)|=(-2u, -2v, 1)$
per trovare $N$ si procede sempre prendendo $n$ e dividendolo per il suo modulo.
Scusate l'intromissione, ma perchè il secondo termine $"-2v"$ è negativo? Grazie.
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