Versore normale ad una curva parametrica piana
Ciao a tutti... forse a molti la mia domanda sembrerà elementare, ma sto veramente impazzendo perchè non riesco a raccapezzarmi nei miei stessi appunti!
Il problema è appunto il calcolo del versore normale ad una curva parametrica piana...non sono in grado di farlo!!
So che ci sarà sicuramente una regola generale della quale io non sono a conoscenza...L'esercizio tipo è il seguente:
Si consideri una curva piana di equazione
x(t)=t t appartenente all'insieme R
y(t)=t^2
Si calcoli il versore normale a tale curva nel punto corrispondente a t=24
So di essere un caso disperato ed irrecuperabile, ho un doppio recupero di un esame di mate fra tre giorni e sono messa veramente male, quindi ringrazio in anticipo ogni anima pia che avrà il buon cuore di rispondermi!
Ciao!
Il problema è appunto il calcolo del versore normale ad una curva parametrica piana...non sono in grado di farlo!!
So che ci sarà sicuramente una regola generale della quale io non sono a conoscenza...L'esercizio tipo è il seguente:
Si consideri una curva piana di equazione
x(t)=t t appartenente all'insieme R
y(t)=t^2
Si calcoli il versore normale a tale curva nel punto corrispondente a t=24
So di essere un caso disperato ed irrecuperabile, ho un doppio recupero di un esame di mate fra tre giorni e sono messa veramente male, quindi ringrazio in anticipo ogni anima pia che avrà il buon cuore di rispondermi!
Ciao!
Risposte
Derivando la parametrizzazione una volta si trova un vettore tangente; derivando il versore tangente si trova un vettore normale, che andrà di nuovo normalizzato.
Ho provato di recente a fare un esercizio del genere e vediamo se riesco a darti qualche dritta (giusta spero). Immagino che tu voglia torvare quanto vale tale vettore espresso in coordiante cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento fisso...
In questo caso per trovare il vettore tangente ad una curva $\phi(t)$ parametrizzata bisogna derivare rispetto all'ascissa curvilinea $s$, che rappresenta lo spazio percorso lungo la curva. Quindi, immediatamente:
$s=\int_0^t|{d\phi(u)}/{du}|du=>{ds}/dt=|{d\phi(t)} /dt|=>ds=|d\phi(t)|=\sqrt{dx^2+dy^2}$
Si ha del resto:
$\phi(t)=\{(x(t)=t\cdoti),(y(t)=t^2\cdotj):}$
Quindi chiamando T il vettore tangente, si ha:
T$={d\phi(t)} /{ds}={d\phi(t)}/\sqrt{dx^2+dy^2} =1/\sqrt{1+4t^2}{d\phi(t)}/dt=1/\sqrt{1+4t^2}(1,2t)$
Ossia le sue componenti sono:
$\{(x(t)=1/\sqrt{1+4t^2}\cdoti),(y(t)={2t}/\sqrt{1+4t^2}\cdotj):}$
In questo caso il vettore in realtà ha già norma unitaria quindi siamo a posto.
Il vettore normale N invece si ottiene:
N$={d^2\phi(t)} /{ds^2}={d\vec{T}}/{ds}=1/\sqrt{1+4t^2}{d\vec{T}}/{dt}=1/\sqrt{1+4t^2}({4t}/\sqrt{1+4t^2},2/(1+4t^2)^{3/2})=1/{1+4t^2}(4t,2/{1+4t^2})$
Essendo poi:
$|{d^2\phi(t)} /{ds^2}|=1/\sqrt{1+4t^2}|{d\vec{T}}/{dt}|=1/\sqrt{1+4t^2}\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=1/\sqrt{1+4t^2}\sqrt({16t^2}/{1+4t^2}+4/(1+4t^2)^3)=1/{1+4t^2}\sqrt(16t^2+4/(1+4t^2)^{2})$
Si ha quindi infine che il versore normale alla curva è:
$\{(x(t)=(t+4t^3)/{64t^6+32t^4+4t^2+1}\cdoti),(y(t)=(1+4t^2)/{128t^6+64t^4+8t^2+2}\cdotj):}$
P.S.
robabilmente posso aver sbagliato dei conti...
In questo caso per trovare il vettore tangente ad una curva $\phi(t)$ parametrizzata bisogna derivare rispetto all'ascissa curvilinea $s$, che rappresenta lo spazio percorso lungo la curva. Quindi, immediatamente:
$s=\int_0^t|{d\phi(u)}/{du}|du=>{ds}/dt=|{d\phi(t)} /dt|=>ds=|d\phi(t)|=\sqrt{dx^2+dy^2}$
Si ha del resto:
$\phi(t)=\{(x(t)=t\cdoti),(y(t)=t^2\cdotj):}$
Quindi chiamando T il vettore tangente, si ha:
T$={d\phi(t)} /{ds}={d\phi(t)}/\sqrt{dx^2+dy^2} =1/\sqrt{1+4t^2}{d\phi(t)}/dt=1/\sqrt{1+4t^2}(1,2t)$
Ossia le sue componenti sono:
$\{(x(t)=1/\sqrt{1+4t^2}\cdoti),(y(t)={2t}/\sqrt{1+4t^2}\cdotj):}$
In questo caso il vettore in realtà ha già norma unitaria quindi siamo a posto.
Il vettore normale N invece si ottiene:
N$={d^2\phi(t)} /{ds^2}={d\vec{T}}/{ds}=1/\sqrt{1+4t^2}{d\vec{T}}/{dt}=1/\sqrt{1+4t^2}({4t}/\sqrt{1+4t^2},2/(1+4t^2)^{3/2})=1/{1+4t^2}(4t,2/{1+4t^2})$
Essendo poi:
$|{d^2\phi(t)} /{ds^2}|=1/\sqrt{1+4t^2}|{d\vec{T}}/{dt}|=1/\sqrt{1+4t^2}\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=1/\sqrt{1+4t^2}\sqrt({16t^2}/{1+4t^2}+4/(1+4t^2)^3)=1/{1+4t^2}\sqrt(16t^2+4/(1+4t^2)^{2})$
Si ha quindi infine che il versore normale alla curva è:
$\{(x(t)=(t+4t^3)/{64t^6+32t^4+4t^2+1}\cdoti),(y(t)=(1+4t^2)/{128t^6+64t^4+8t^2+2}\cdotj):}$
P.S.
robabilmente posso aver sbagliato dei conti...
quello che hai fatto è giusto, Cavalli, ma visto che non sempre è possibile avere la parametrizzazione naturale di una curva consiglierei a Turchese di trovare prima il versore tangente della curva $gamma$ come normalizzazione della velocità:
$T=((dgamma)/dt) / (|(dgamma)/dt|) $
e poi calcolare N come N=T'/k (dalle formule di Frenet) ove la curvatura k è per definizione è k=| T' |
i calcoli sono gli stessi, ma in casi più complicati si rischia di non andare da nessuna parte alla ricerca di una parametrizzazione naturale che non esiste in forma chiusa
$T=((dgamma)/dt) / (|(dgamma)/dt|) $
e poi calcolare N come N=T'/k (dalle formule di Frenet) ove la curvatura k è per definizione è k=| T' |
i calcoli sono gli stessi, ma in casi più complicati si rischia di non andare da nessuna parte alla ricerca di una parametrizzazione naturale che non esiste in forma chiusa
Infatti io ho fatto unsacco di calcoli cge tra k'altro non so nemmeno se poi son tutti corretti... 
Attenzione wedge, la curvatura è sì per definzione la norma della derivata seconda della parametrizzazione, ma rispetto all'ascissa curvilinea, quindi ti stai mordendo la coda se vuoi usare le formule di Frenet.
Secondo me la via più rapida è quella che avevo indicato; trovare il vettore tangente, normalizzarlo, e derivare quindi il versore tangente: così facendo si trova un vettore normale che andrà nuovamente normalizzato.
Secondo me la via più rapida è quella che avevo indicato; trovare il vettore tangente, normalizzarlo, e derivare quindi il versore tangente: così facendo si trova un vettore normale che andrà nuovamente normalizzato.
Secondo me una via ancora più rapida c'è,
dal momento che calcolare (a mano) la derivata
del versore tangente potrebbe essere molto
lungo e noioso. Se $vecx=vecx(t)$ è una qualunque
parametrizzazione per una curva $ccC$, e se $vect$,
$vecn$ e $vecb$ sono rispettivamente il versore
tangente, il versore normale e il versore binormale,
che formano il triedro di Frenet, allora valgono le
seguenti formule (l'unica la cui dimostrazione è
un po' complicata è quella della torsione) che
permettono di calcolare triedro di Frenet, curvatura e torsione:
$vect(t)=(vec(x')(t))/||vec(x')(t)||
$vecb(t)=(vec(x')(t) xx vec(x'')(t))/||vec(x')(t) xx vec(x'')(t)||
$vecn(t)=vecb(t) xx vect(t)
$ccK(t)=||vec(x')(t) xx vec(x'')(t)||/(||vec(x')(t)||^3)
$ccT(t)=([vec(x')(t), vec(x'')(t), vec(x''')(t)])/(||vec(x')(t) xx vec(x'')(t)||^2)
in cui $[vec(x')(t), vec(x'')(t), vec(x''')(t)]$ denota il prodotto misto dei tre vettori.
In sostanza per calcolare il versore normale, si calcola prima il versore tangente,
poi il versore binormale e infine si arriva al versore normale, usando queste formule.
Così facendo non si rischia di dover calcolare derivate complicatissime;
si devono infatti solo calcolare alcuni determinanti e le derivate (fino alla terza) della parametrizzazione,
che non sono complicate da calcolare se la parametrizzazione è "umana"; a mio
parere è meglio procedere così, piuttosto che calcolare la derivata di un vettore normalizzato
in funzione del parametro t.
dal momento che calcolare (a mano) la derivata
del versore tangente potrebbe essere molto
lungo e noioso. Se $vecx=vecx(t)$ è una qualunque
parametrizzazione per una curva $ccC$, e se $vect$,
$vecn$ e $vecb$ sono rispettivamente il versore
tangente, il versore normale e il versore binormale,
che formano il triedro di Frenet, allora valgono le
seguenti formule (l'unica la cui dimostrazione è
un po' complicata è quella della torsione) che
permettono di calcolare triedro di Frenet, curvatura e torsione:
$vect(t)=(vec(x')(t))/||vec(x')(t)||
$vecb(t)=(vec(x')(t) xx vec(x'')(t))/||vec(x')(t) xx vec(x'')(t)||
$vecn(t)=vecb(t) xx vect(t)
$ccK(t)=||vec(x')(t) xx vec(x'')(t)||/(||vec(x')(t)||^3)
$ccT(t)=([vec(x')(t), vec(x'')(t), vec(x''')(t)])/(||vec(x')(t) xx vec(x'')(t)||^2)
in cui $[vec(x')(t), vec(x'')(t), vec(x''')(t)]$ denota il prodotto misto dei tre vettori.
In sostanza per calcolare il versore normale, si calcola prima il versore tangente,
poi il versore binormale e infine si arriva al versore normale, usando queste formule.
Così facendo non si rischia di dover calcolare derivate complicatissime;
si devono infatti solo calcolare alcuni determinanti e le derivate (fino alla terza) della parametrizzazione,
che non sono complicate da calcolare se la parametrizzazione è "umana"; a mio
parere è meglio procedere così, piuttosto che calcolare la derivata di un vettore normalizzato
in funzione del parametro t.
Mah, il versore tangente viene $(1/sqrt(1+4t^2),2t/sqrt(1+4t^2))$... non è poi così complicato derivarlo.
In questo caso sì, ma io ad Analisi I/3 mi sono trovato
davanti delle curve ben diverse da questa, per cui
avrei volentieri evitato di calcolare la derivata del
versore tangente in funzione di t...
davanti delle curve ben diverse da questa, per cui
avrei volentieri evitato di calcolare la derivata del
versore tangente in funzione di t...
oh hai ragione Luca 
chiedo scusa
chiedo scusa
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