Versore normale
Ciao, amici!
Trovo in un esercizio il versore normale principale di una curva $\vec r(t)$ regolare derivabile tre volte con derivate rispetto a $t$ $\vec r',\vec r''$ e $\vec r'''$ espresso come
$\hatN= ||\vec r'||/(||\vec r' × \vec r''||) (\vec r''- (\vec r'× \vec r'')/(||\vec r'||^2))$
Ho provato tutta la sera di ieri e tutta la mattina di oggi, ma non riesco a trovare il procedimento per cui si arriva ad esprimerlo così... So che $\hatN(\vec r(t))$ si può esprimere come
$\hatN = ((\vec r' × \vec r'') × \vec r')/(||\vec r'|| ||\vec r' × \vec r''||)$, ma non vedo come ad arrivare all'identità di sopra... Non trascrivo i miei patetici tentativi per non imbrattare ulteriormente queste pagine...
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano?
Grazie di cuore a tutti!!!
Trovo in un esercizio il versore normale principale di una curva $\vec r(t)$ regolare derivabile tre volte con derivate rispetto a $t$ $\vec r',\vec r''$ e $\vec r'''$ espresso come
$\hatN= ||\vec r'||/(||\vec r' × \vec r''||) (\vec r''- (\vec r'× \vec r'')/(||\vec r'||^2))$
Ho provato tutta la sera di ieri e tutta la mattina di oggi, ma non riesco a trovare il procedimento per cui si arriva ad esprimerlo così... So che $\hatN(\vec r(t))$ si può esprimere come
$\hatN = ((\vec r' × \vec r'') × \vec r')/(||\vec r'|| ||\vec r' × \vec r''||)$, ma non vedo come ad arrivare all'identità di sopra... Non trascrivo i miei patetici tentativi per non imbrattare ulteriormente queste pagine...
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Credo di essere riuscito a dimostrare l'equivalenza delle due espressioni di $\hat N(\vecr(t))$ di qua sopra. Direi che si tratti essenzialmente di dimostrare che, per $\vecr(t)$ regolare e derivabile due volte
$||\vecr'||^2\vecr''-\vecr' × \vecr''=(\vecr' × \vecr'')×\vecr'$.
Utilizzando il fatto che $AA \veca,\vecb,vec c \in V~=RR^3" " \vec a×(\vec b × \vec c)=(\vec a*\vec c)\vec b -(\vec a * \vec b) \vec c$ mi pare che
$||\vecr'||^2\vecr''-\vecr' × \vecr''= -(\vec r' * \vec r'')\vec r'$.
Sapendo che $\vec r''(t)=s''(t)\hatT(t)+s'(t)\hat T'(t)$ ed essendomi calcolato, spero senza sbagliare, che
$s''(t)=("d"||\vec r'||)/("d"t)=(\vec r'*\vec r'')/(||\vec r'||)$ e $\hat T'(t)="d"/("d"t) ((\vec r')/(||\vec r'||))=(||\vec r'||^2\vec r''-(\vec r'*\vec r'')\vec r')/(||\vec r'||^3) $ con una semplice sostituzione direi che si dimostra l'uguaglianza di sopra.
Spero che, se ho scritto stupidate, qualcuno mi corregga...
Ciao a tutti!
$||\vecr'||^2\vecr''-\vecr' × \vecr''=(\vecr' × \vecr'')×\vecr'$.
Utilizzando il fatto che $AA \veca,\vecb,vec c \in V~=RR^3" " \vec a×(\vec b × \vec c)=(\vec a*\vec c)\vec b -(\vec a * \vec b) \vec c$ mi pare che
$||\vecr'||^2\vecr''-\vecr' × \vecr''= -(\vec r' * \vec r'')\vec r'$.
Sapendo che $\vec r''(t)=s''(t)\hatT(t)+s'(t)\hat T'(t)$ ed essendomi calcolato, spero senza sbagliare, che
$s''(t)=("d"||\vec r'||)/("d"t)=(\vec r'*\vec r'')/(||\vec r'||)$ e $\hat T'(t)="d"/("d"t) ((\vec r')/(||\vec r'||))=(||\vec r'||^2\vec r''-(\vec r'*\vec r'')\vec r')/(||\vec r'||^3) $ con una semplice sostituzione direi che si dimostra l'uguaglianza di sopra.
Spero che, se ho scritto stupidate, qualcuno mi corregga...
Ciao a tutti!