Verso di percorrenza negli integrali curvilinei

[manuxy84]

Ciao a tutti,
sono alle prese con gli integrali curvilinei, e non riesco a capire molto sull'orientamento delle curve...
Partiamo da un banale esempio:
Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale $omega(x,y)=x^2 dx +xy^2 dy$ lungo la frontiera $phi$ del quadrato $[0x1] x [0x1]$, percorsa in senso antiorario.

Nella soluzione mi chiama ogni lato con $phi_i$ e mi disegna il verso di percorrenza, integra su ciascuno dei lati e fa la somma:
$phi_1={(x=t),(y=0):}$ con $t in [0,1]$ inoltre $int_{phi_1}omega=int_{0}^{1}t^2 dt = 1/3$
$phi_2={(x=1),(y=t):}$ con $t in [0,1]$ inoltre $int_{phi_2}omega=int_{0}^{1}t^2 dt = 1/3$
$phi_3={(x=1-t),(y=1):}$ con $t in [0,1]$ inoltre $int_{phi_3}omega=-int_{0}^{1}(t-1)^2 dt = -1/3$ perchè meno????
$phi_4={(x=0),(y=1-t):}$ con $t in [0,1]$ inoltre $int_{phi_4}omega=0$

ne segue $int_{phi} omega=1/3 + 1/3 -1/3 +0 = 1/3$

Non capisco perchè l'integrale lungo $phi_3$ viene considerato con il segno meno: la parametrizzazione $phi_3$ è il segmento che va da (1,1) a (0,1), quindi nello stesso verso di percorrenza richiesto dal testo (antiorario), e allora perchè l'integrale viene preso con il segno meno?

Grazie

[vict85]

Semplicemente perché [tex]\int_a^b fdx = -\int_b^a fdx[/tex]. In altre parole [tex]\int_{\phi_3}w = \int_{\phi_3} x^2dx + \int_{\phi_3} xy^2dy = \int_1^0 x^2dx + 0 = -\int_0^1 x^2dx[/tex]

Oppure con il cambio di variabile [tex]t=1-x[/tex] con derivata [tex]-1[/tex] che viene [tex]\displaystyle\int_1^0 x^2dx = -\int_0^1 (1-t)^2 dt = \left[\frac{(1-t)^3}{3}\right]_0^1 = \frac{-1+1-1+1}{3}-\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}[/tex]