Verificare usando la definizione di limite
Buonasera avrei bisogno di una mano con un esercizio che ho trovato su internet, Il testo dell'esercizio/esempio che ho trovato su internet è il seguente:
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Esercizio. Veri care, usando la de nizione di limite, che
$lim_(x->1)(x^2+x)=2$
Suggerimento. Si tratta di veri care che, preso $epsilon > 0$, esite $delta > 0$ tale che se $0 < |x-1| < delta$ risulta $|x^2+x-2| < epsilon$. Risolvendo la disequazione $2-epsilon < x^2+x < 2+epsilon$, si trova
$delta_epsilon = min{3/2 - sqrt(9/4 - epsilon),-3/2+sqrt(9/4+epsilon)}$
che fornisce l'intorno di $x_0$ = 1 cercato.
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Di questo esercizio non riesco a capire come dalla disequazione si trova ${3/2 - sqrt(9/4 - epsilon),-3/2+sqrt(9/4+epsilon)}$, e perchè $delta_epsilon$ deve essere uguale al minimo, mi potete aiutare grazie.
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Esercizio. Veri care, usando la de nizione di limite, che
$lim_(x->1)(x^2+x)=2$
Suggerimento. Si tratta di veri care che, preso $epsilon > 0$, esite $delta > 0$ tale che se $0 < |x-1| < delta$ risulta $|x^2+x-2| < epsilon$. Risolvendo la disequazione $2-epsilon < x^2+x < 2+epsilon$, si trova
$delta_epsilon = min{3/2 - sqrt(9/4 - epsilon),-3/2+sqrt(9/4+epsilon)}$
che fornisce l'intorno di $x_0$ = 1 cercato.
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Di questo esercizio non riesco a capire come dalla disequazione si trova ${3/2 - sqrt(9/4 - epsilon),-3/2+sqrt(9/4+epsilon)}$, e perchè $delta_epsilon$ deve essere uguale al minimo, mi potete aiutare grazie.
Risposte
Hai provato a risolvere il sistema di disequazioni?
\[ \begin{cases} 2 - \epsilon < x^2 + x \\ x^2 + x < 2 + \epsilon \end{cases} \]
Se il limite è corretto le soluzioni che ottieni contengono un intorno (bucato) del punto $x_0 = 1$. Per ricalcare la definizione di limite che probabilmente ti è stata data vorresti avere questo intorno della forma $0 < |x - 1 | < \delta_\epsilon$ ovvero $1 -
\delta_\epsilon < x < 1 + \delta_\epsilon$ (un intorno simmetrico del punto $1$). Per ottenerlo scegli $\delta_\epsilon$ in quella maniera...
Per esempio se hai l'intervallo $1 - 1/1000 < x < 1 + 1/3$, che è un intorno di $1$, basta scegliere come raggio dell'intorno $\delta$ il più piccolo tra $1/1000 , 1/3$.
\[ \begin{cases} 2 - \epsilon < x^2 + x \\ x^2 + x < 2 + \epsilon \end{cases} \]
Se il limite è corretto le soluzioni che ottieni contengono un intorno (bucato) del punto $x_0 = 1$. Per ricalcare la definizione di limite che probabilmente ti è stata data vorresti avere questo intorno della forma $0 < |x - 1 | < \delta_\epsilon$ ovvero $1 -
\delta_\epsilon < x < 1 + \delta_\epsilon$ (un intorno simmetrico del punto $1$). Per ottenerlo scegli $\delta_\epsilon$ in quella maniera...
Per esempio se hai l'intervallo $1 - 1/1000 < x < 1 + 1/3$, che è un intorno di $1$, basta scegliere come raggio dell'intorno $\delta$ il più piccolo tra $1/1000 , 1/3$.
Grazie mille, sei stato gentilissimo.
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