Verificare un'identità con binomiale

[Crowld]

Buonasera a tutti!
Ho riscontrato alcune difficoltà nel verificare la seguente identità:

$ 0*( (n), (0) )+ 1*((n), (1))+ cdots + n*((n), (n)) = n*2^(n-1) $

Di seguito il procedimento che ho seguito per arrivare alla soluzione (ma ho il dubbio di aver fatto un passaggio non consentito):

- per prima cosa ho identificato la parte a sinistra dell'uguale come la seguente sommatoria

$ sum_(k = 0)^(n) k*((n), (k)) $

- e da lì ho riscritto il binomiale e fatto le varie semplificazioni

$ sum_(k = 0)^(n) k*((n), (k)) = sum_(k = 0)^(n) (k*n!)/(k!*(n-k)!) = sum_(k = 0)^(n) (n!)/((k-1)!*(n-k)!) = sum_(k = 0)^(n) (n*(n-1)!)/((k-1)!*(n-k)!) = sum_(k = 0)^(n) n*((n-1), (k-1)) = n*[sum_(k = 0)^(n)((n), (k))-sum_(k = 0)^(n-1)((n-1), (k))] = n*(2^n-2^(n-1)) = n*2^(n-1) $

- nell'ultimo passaggio ho sfruttato l'identità: $ sum_(k = 0)^n ((n), (k)) = 2^n $

La mia perplessità riguarda la scomposizione della sommatoria e l'assegnazione di un nuovo estremo superiore all'intervallo dei valori di $ k $, da $ n $ a $ n -1 $, che ho effettuato per via del binomiale $ ((n-1), (k)) $.

Nel caso fosse sbagliato, come dovrei procedere per verificare questa identità?

[pilloeffe]

Ciao Crowld,

Mi pare corretto.
Puoi dare un'occhiata ad esempio qui.

[anto_zoolander]

Intanto parti con il considerare che la somma effettivamente è uguale a quella che parte con $k=1$ visto che il primo termine è nullo.

Quindi facendo i tuoi passaggi arrivi a $n sum_(k=1)^(n)((n-1),(k-1))$ anche perché nella tua somma avresti per $k=0$ il termine $((n-1),(-1))$ :p

Ora non mi ricordo quella identità(ma per mancanza mia) però puoi notare che ponendo $j=k-1$ ottieni

$n sum_(j=0)^(n-1)((n-1),(j))=n2^(n-1)$

[Crowld]

Grazie mille!