Verificare un limite usando la definizione

[Jakko1]

Ciao a tutti, sto preparando l'esame di Analisi A, ma spesso ho dubbi risolvendo questo genere di esercizi:
Verificare il seguente limite usando la definizone metrica: .....

Ve ne lascio un paio, qualcuno sarebbe così gentile da darmi la soluzione facendo vedere bene i passaggi?

$lim_(x->0) "6-x"/x^2=+∞$

Oppure ancora:


$lim_(x->+∞) "1"/x-x=-∞$

Grazie mille comunque!

[Sk_Anonymous]

nella definizione di limite:
$f(x) -> l$ per $x->x_0
se per ogni intorno $V$ di $l$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che (1)
per ogni $x in UnnX\\{x_0}$ si ha $f(x) in V

quindi dobbiamo verificare che, nel primo caso, $f$ è definitivamente illimitata in un intorno di 0
ovvero
$(6-x)/(x^2)>M AA x in (x_0-delta,x_0+delta)=U, M in RR^+$; (condizione di appartenenza di $f(x)$ a $V$)
$(6-x-Mx^2)/x^2>0
cioè la condizione è verificata per ogni x appartenente all'intervallo
$U=((1+sqrt(1+24M))/(-2M),(1-sqrt(1+24M))/(-2M))\\{0}
che è proprio un intorno di 0

per capirsi, nella definizione di limite, sarebbe $V=[M,+oo)$, cioè un intorno di l, svolgendo i calcoli verifichiamo se assolve alla condizione (1), cioè l'esistenza dell'intorno U
p.s. non so se la definizione 'metrica' è qualcosa di diverso da quella che conosco io

[Luca.Lussardi]

No, non è diversa se sei in uno spazio metrico; la definizione di limite che fa uso di intorni è invece più generale di quella metrica, dal momento che, come è ben noto, esistono topologie che non sono metrizzabili.

[fireball1]

Luca, io conosco solo la definizione di limite
che fa uso di intorni... Quale sarebbe quella metrica?

[Luca.Lussardi]

La classica definizione "epsilon-delta" alla Cauchy.

[fireball1]

Vale anche per funzioni definite in
$XsubeRR^m$ a valori in $RR^n$ no?
E' per caso quella che dice così?
$AAepsilon>0 " " EEdelta>0: " "AAx : 0<||x-x_0||||f(x)-l||

Cita

Segnala

[fireball1]

E questa invece sarebbe quella che fa uso di intorni?
Posto che un intorno sferico in $RR^m$ di raggio
$epsilon>0$ di un punto $x in RR^m$ si indichi con $B_epsilon(x)$ si ha (sempre limite di funzioni
definite in $XsubeRR^m$ a valori in $RR^n$,
con $x_0 in dot(RR)^m$ punto di accumulazione per X e $L in dot(RR)^n
dove $dot(RR)^n-=RR^n uu {oo}$, denotando con $oo$ un punto
che si trovi a "distanza infinita" dall'origine):
$lim_(x->x_0) f(x)=L
se
$AA B_epsilon(L) " " EE B_delta(x_0) : AAx in B_delta(x_0) " " f(x) in B_epsilon(L)
E' giusta?

[Luca.Lussardi]

Sì, a parte $B_epsilon$ che è troppo, basta chiedere un intorno di $L$, non necessariamente una palla.

[fireball1]

In $RR^n$ io so che un intorno sferico e un intorno sono praticamente la stessa cosa...

[fireball1]

Anzi, un qualunque insieme che contiene un
intorno sferico di $x$ è detto intorno di $x$.

[Luca.Lussardi]

Appunto, un intorno di $x$ non è per forza una palla, ma è un qualunque insieme che contiene una palla centrata in $x$, sempre che siamo in uno spazio metrico.

[fireball1]

Infatti... Ma allora la definizione di intorno in uno spazio non metrico qual è?

[Luca.Lussardi]

Se sei in uno spazio topologico un sottinsieme $U$ si dice intorno di $x$ se $U$ contiene un aperto contenente $x$. Ricordo che uno spazio topologico è un insieme $X$ nel quale è definita una famiglia di sottoinsiemi stabile per certe operazioni insiemistiche, detta topologia su $X$. Gli elementi di una topologia su $X$ sono detti insiemi aperti.

[fireball1]

Ok, infatti sono andato a vedere anche sul libro ed è
spiegato molto bene il concetto di intorno in uno spazio non necessariamente metrico.
E' una definizione che contiene 4-5 condizioni che devono rispettare
gli insiemi di una fissata famiglia, per essere degli intorni di un punto.

[Jakko1]

Grazie a tutti per l'aiuto!!