Verificare soluzione a Problema di Cauchy

[soni5]

Ciao, ho il seguente problema di Cauchy [tex]$\left\{\begin{matrix}y'=xy+2xy^3\\y(0)=1\end{matrix}\right.$[/tex], mi sono trovato per $x>0$ questa soluzione all'equazione differenziale (spero sia giusta) [tex]$y=\sqrt{\frac{x^2e^{2c}}{1-2x^2e^{2c}}}$[/tex]. Quindi concluderei che il problema di Cauchy ammette un unica soluzione. Ma per verificare che la soluzione è corretta devo fare la derivata della soluzione rispetto a $x$ poi sostituire $0$ e deve risultare $1$?? Se sostituisco $0$ alla derivata della soluzione ottengo $0$ quindi è sbagliato?

[adaBTTLS1]

benvenut* nel forum

non mi sono messa a svolgere il problema, ma la condizione particolare è $y(0)=1$ e non $y'(0)=1$, per cui andrebbe sostituito $x=0$ nell'espressione della funzione e non della derivata: viene però comunque $0$ e non $1$. però tu hai posto come condizione $x>0$, il che sembrerebbe che la tua soluzione non valga per $x=0$. allora quale sarebbe per te $y(0)$ ?
io ormai sono secoli che non mi occupo più di equazioni differenziali, prova però a postare i passaggi, e magari ti potremo correggere ...
ciao.

[frab1]

non è lineare..e se provassimo a sostituire xy=z??

[soni5]

Grazie ada, ho rifatto l'esercizio, e la condizione $x>0$ non c'è scusa. Posto i passaggi principali, per prima cosa devo risolvere l'equazione differenziale, quindi la riconduco nella forma variabili separabili e integro: [tex]$\frac{y'(x)}{y(x)+2y(x)^3}=x$[/tex] integrando ottengo [tex]$\left|\frac{y}{\sqrt{2y^2+1}}\right|=\left|x\right|e^c$[/tex], siccome non sono interessato a valori di $y$ negativi dato che devo andare a verificare la condizione $y(0)=1$ tolgo il valore assoluto e mi ricavo la $y$ ottenendo [tex]$y=\sqrt{\frac{x^2e^{2c}}{1-2x^2e^{2c}}}$[/tex], fin qui è giusto? E adesso non so continuare, cioè non so se la soluzione è giusta e se esiste un modo per verificarla in qualche modo... oppure dovrei concludere solamente che il problema di Cauchy ammette una soluzione ed è quella?

@frab non saprei, sono i primi poblemi di cauchy che sto provando a risolvere, per adesso non conosco altri metodi per risolvere quell'equazione differenziale se non ricondurla a variabili separabili

[frab1]

ok soni!!anche io!siamo sulla stessa barca!!
ascolta ma quale sarebbe la formula generale per scrivere l'equazione sotto forma di variabili separabili?
Il nostro professore ci ha dettato solamente:

$int dy/h(x)=int g(x)dx$

tu intendi questa?
io sto metodo non riesco proprio a capirlo!!

[pater46]

La prova la fai derivando la tua $y(x)$, sostituendola nell'equazione differenziale, e vedendo se l'eguaglianza è soddisfatta.

[soni5]

@frab
Separo semplicemente la $x$ dalla $y$, cioè $y'=x(y+2y^3)$ e poi divido [tex]$\frac{y'(x)}{y(x)+2y(x)^3}=x$[/tex]

[gugo82]

@soni & frab: E ci credo che non riuscite a capirlo... Provato a dare uno sguardo su un libro serio? Oppure sulle dispensine di Fioravante?

Metto uno studio dettagliato del problema in spoiler.

Ad ogni modo, qui si ha:

(*) [tex]$y^\prime (x)=x\ y(x)[1+2y^2(x)]$[/tex]

con condizione iniziale [tex]$y(0)=1>0$[/tex].
Ciò implica che [tex]$y(x)$[/tex] è positiva intorno a [tex]$0$[/tex], quindi la monotonia di [tex]$y(x)$[/tex] è determinata dal segno di [tex]$x$[/tex] per la (*): in particolare [tex]$y(x)$[/tex] sarà strettamente decrescente a sinistra di [tex]$0$[/tex] (cioè per [tex]$x<0$[/tex]) e strettamente crescente a destra (cioè per [tex]$x>0$[/tex]). Quindi [tex]$0$[/tex] sarà un punto di minimo per [tex]$y(x)$[/tex].
Inoltre, dalla (*) discende che una soluzione locale [tex]$y(x)$[/tex] del problema di Cauchy è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex]: infatti [tex]$y^\prime (x)$[/tex] è continua e derivabile per (*); derivando m.a.m. la (*) si ottiene:

[tex]$y^{\prime \prime}(x)=\big( x [y(x)+2y^3(x)] \big)^\prime $[/tex]
[tex]$=y(x)[1+2y^2(x)] + x\ y^\prime (x)[1+6y^2(x)] $[/tex]

sicché, essendo [tex]$y(x),y^\prime (x)$[/tex] funzioni continue e derivabili, anche [tex]$y^{\prime \prime}(x)$[/tex] è derivabile; e così via...*

Ora mettiamoci nell'ipotesi [tex]$x\geq 0$[/tex]: in tale ipotesi [tex]$y^\prime (x)>0$[/tex] in un intorno di [tex]$0$[/tex], quindi la funzione [tex]$y(x)$[/tex] sarà invertibile e si potrà usare in una sostituzione all'interno di un integrale, come ora vedremo.
Visto che [tex]$y(x)>0$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex], possiamo dividere membro a membro la (*) per [tex]$y(x)[1+2y^2(x)]$[/tex] ed ottenere:

(**) [tex]$\frac{y^\prime (x)}{y(x)[1+2y^2(x)]} =x$[/tex]

relazione che vale per ogni [tex]$x>0$[/tex] sufficientemente vicino a zero; scegliamo allora di integrare ambo i membri della precedente uguaglianza in [tex]$[0,x]$[/tex] ed otteniamo:

[tex]$\int_0^x \frac{y^\prime (t)}{y(t)[1+2y^2(t)]}\ \text{d} t =\int_0^x t\ \text{d} t$[/tex];

facendo nel primo integrale la sostituzione [tex]$\tau=y(t)$[/tex] (lecita, per quanto già detto) e tenendo presente la condizione iniziale si vede che la precedente diventa:

(***) [tex]$\int_1^{y(x)} \frac{1}{\tau [1+2\tau^2]}\ \text{d} \tau =\int_0^x t\ \text{d} t$[/tex]

che è la forma corretta in cui mettere una EDO a variabili separabili senza usare artifici illeciti.

Dalla (***), con un po' di lavoro, segue che per [tex]$x\geq 0$[/tex] risulta:

[tex]$\Big[ \ln \frac{\tau}{\sqrt{1+2\tau^2}} \Big]_1^{y(x)} = \frac{1}{2}\ \Big[ t^2\Big]_0^x$[/tex]

ossia (tenedo presente che [tex]$y(x)>0$[/tex]):

(D) [tex]$\ln \frac{y^2(x)}{1+2y^2(x)} =x^2 -\ln 3$[/tex],

relazione che individua in forma implicita l'integrale a destra di [tex]$0$[/tex].

Se invece scegliamo di lavorare a sinistra di [tex]$0$[/tex], la [tex]$y(x)$[/tex] sarà strettamente decrescente quindi si potrà usare lo stesso trucco, ma a patto di ricordarsi qualche segno [tex]$-$[/tex].
Infatti integrando la (**) in [tex]$[x,0]$[/tex] si trova:

[tex]$\int_x^0 \frac{y^\prime (t)}{y(t)[1+2y^2(t)]}\ \text{d} t =\int_x^0 t\ \text{d} t$[/tex]

e, facendo il cambiamento di variabile [tex]$\tau =y(t)$[/tex] con la condizione [tex]$y(0)=1$[/tex], si ottiene:

[tex]$\int_{y(x)}^1 \frac{\tau }{\tau [1+2\tau^2]}\ \text{d} \tau =\int_x^0 t\ \text{d} t$[/tex];

ma, dato che [tex]$y(x)>1$[/tex] per [tex]$x<0$[/tex], si possono scambiare gli estremi nell'integrale a primo membro a patto di cambiare segno:

(****) [tex]$\int_1^{y(x)}\frac{\tau }{\tau [1+2\tau^2]}\ \text{d} \tau =-\int_x^0 t\ \text{d} t$[/tex].

Risolvendo gli integrali in (****) si trova:

[tex]$\ln \frac{y(x)}{\sqrt{1+2y^2(x)}} +\frac{1}{2}\ \ln 3=\frac{1}{2}\ x^2$[/tex],

cioè (tenedo presente che [tex]$y(x)>0$[/tex]):

(S) [tex]$\ln \frac{y^2(x)}{1+2y^2(x)} =x^2-\ln 3$[/tex]

che individua la soluzione in forma implicita a sinistra di [tex]$0$[/tex].

Ma formalmente (D) ed (S) sono la stessa equazione, ergo la relazione:

(I) [tex]$\ln \frac{y^2(x)}{1+2y^2(x)} =x^2-\ln 3$[/tex]

individua la soluzione [tex]$y(x)$[/tex] del P.d.C. intorno a [tex]$0$[/tex] in forma implicita.

Viceversa, per il teorema del Dini, ogni soluzione [tex]$y(x)$[/tex] dell'equazione:

[tex]$\ln \frac{y^2}{1+2y^2} =x^2-\ln 3$[/tex]

con [tex]$y(0)=1$[/tex], individua una soluzione del P.d.C. assegnato: infatti la condizione iniziale è verificata, si vede facilmente che [tex]$\tfrac{\partial }{\partial y} [\ln \tfrac{y^2}{1+2y^2}]\big|_{y=1} \neq 0$[/tex] e la relazione sulle derivate che è nella tesi del teorema consente di scrivere:

[tex]$y^\prime (x) = \frac{\frac{\partial }{\partial x} [x^2-\ln 3]}{\frac{\partial }{\partial y} \ln \frac{y^2}{1+2y^2}\big|_{y=y(x)}}$[/tex]
[tex]$=\frac{x}{\frac{1}{y(x)[1+2y^2(x)]}}$[/tex]
[tex]$=x\ y(x)[1+2y^2(x)]$[/tex].

Ne viene che le soluzioni massimali del P.d.C. assegnato coincidono con le soluzioni massimali dell'equazione (I).

Dalla relazione implicita si ricava:

[tex]$\frac{y^2}{1+2y^2}=e^{x^2-\ln 3}=\frac{1}{3}\ e^{x^2}$[/tex],

ed ancora:

[tex]$y^2=\frac{e^{x^2}}{3-2e^{x^2}}$[/tex];

ma il secondo membro è [tex]$\geq 0$[/tex] solo se [tex]$x^2<\ln \tfrac{3}{2}$[/tex], ossia se [tex]$x\in ]-\sqrt{\ln 3-\ln 2},\sqrt{\ln 3-\ln 2}[$[/tex] (che è un intorno di [tex]$0$[/tex]!), quindi in tale intervallo è definita implicitamente la funzione:

[tex]$y(x)=\sqrt{\frac{e^{x^2}}{3-2e^{x^2}}}$[/tex],

che è la soluzione massimale del nostro P.d.C.


__________
* Questo metodo iterativo, che consente di ricavare la regolarità della derivata [tex]$y^{(n)}(x)$[/tex] a partire dalla regolarità di tutte le derivate d'indice minore (acquisite nei passi precedenti) è usualmente detto bootstrapping. Il termine deriva da una famosa avventura del barone di Munchhausen, che riuscì a tirarsi fuori dalla palude usando la linguetta dietro gli stivali (chiamata, appunto, bootstrap).

[adaBTTLS1]

prego, soni.
nel frattempo hai ricevuto anche una risposta con soluzione dettagliata ... però, cercare di correggerti di certo non è facile, non si capisce molto il tuo procedimento.
con le dovute precauzioni (vedi appunti di Fioravante Patrone), con il metodo "Orang-Utang" (non so se l'ho citato bene), nonostante non si tratti di una equazione del primo ordine, trattandola "a variabili separabili" si ottiene lo stesso risultato.
ti scrivo qualche passaggio: spero ti sia utile per un confronto, per capire l'errore.

$(dy)/(dx)=xy[1+2y^2]$

$(dy)/(y(1+2y^2))=x dx$

$int\(dy)/(y(1+2y^2))=int\x dx$

$int\(dy)/(y(1+2y^2))=int(dy)/y+int(-2y)/(2y^2+1)=$ ... $=1/2 ln((y^2)/(2y^2+1)) + C_1$

$int\x dx=1/2 x^2 +C_2$

$1/2 ln((y^2)/(2y^2+1)) + C_1 = 1/2 x^2 +C_2$

$ln((y^2)/(2y^2+1))=x^2 +K$

$(y^2)/(2y^2+1) = e^(x^2+K)$

dalla condizione particolare, sostituendo ${y=1 ^^ x=0}$, si ottiene: $1/3=e^K -> K=ln(1/3)= -ln3$

quindi: $(y^2)/(2y^2+1) = e^(x^2-ln3)$ ...

facci sapere. ciao.

[frab1]

grazie gugo!!!quello che ci voleva!!!cavolo non è cosi chiaro sul mio testo!

[soni5]

Grazie a tutti siete stati chiarissimi!!