Verificare se la funzione risulta integrabile
Buonasera, ho alcuni problemi a risolvere questa funzione:
La funzione è integrabile? Risulta primitiva?
$ { ( (x-2)/(x+1)rArr 1< x <= 2),( xe^x+1rArr 0<= x <= 1):} $
per verificare se è integrabile devo vedere se la mia funzione è continua nell'intervallo [0,2], visto che si tratta di una funzione definita a tratti? O devo studiare separatamente?
Grazie in anticipo!
La funzione è integrabile? Risulta primitiva?
$ { ( (x-2)/(x+1)rArr 1< x <= 2),( xe^x+1rArr 0<= x <= 1):} $
per verificare se è integrabile devo vedere se la mia funzione è continua nell'intervallo [0,2], visto che si tratta di una funzione definita a tratti? O devo studiare separatamente?
Grazie in anticipo!
Risposte
Salve.
Sicuramente è vero che una funzione continua su un intervallo è integrabile su quell'intervallo, ma questa è una condizione sufficiente, ma non strettamente necessaria; sono, infatti, integrabili anche le cosiddette funzioni "continue a tratti", sicuramente quando si ha a che fare con punti di discontinuità di prima o di terza specie.
Nel caso della funzione da te riportata,si ha, nel punto di raccordo tra le due leggi (cioè, quando $x=1$) un punto di discontinuità di prima specie, quindi la funzione la integri senza problemi "spezzando" (decomponendo) l'integrale sui singoli intervalli su cui sono definite le singole espressioni (che sono costituite da funzioni continue).
Praticamente:
$int_0^2 f(x)*dx=int_0^1 f(x)*dx+int_1^2 f(x)*dx$
Spero di esserti stato utile.
Saluti.
Sicuramente è vero che una funzione continua su un intervallo è integrabile su quell'intervallo, ma questa è una condizione sufficiente, ma non strettamente necessaria; sono, infatti, integrabili anche le cosiddette funzioni "continue a tratti", sicuramente quando si ha a che fare con punti di discontinuità di prima o di terza specie.
Nel caso della funzione da te riportata,si ha, nel punto di raccordo tra le due leggi (cioè, quando $x=1$) un punto di discontinuità di prima specie, quindi la funzione la integri senza problemi "spezzando" (decomponendo) l'integrale sui singoli intervalli su cui sono definite le singole espressioni (che sono costituite da funzioni continue).
Praticamente:
$int_0^2 f(x)*dx=int_0^1 f(x)*dx+int_1^2 f(x)*dx$
Spero di esserti stato utile.
Saluti.
Grazie mille!!
Figurati, ho piacere di essere stato utile.
Saluti.
Saluti.
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